Простейшие функции. Квадратные корни
Функции и графики
Числовые неравенства
Ответы к стр. 10
11. Умножьте обе части верного неравенства на отрицательное число, применив свойство 4:
а) 1 < 2; б) 5 > 4,5; в) 6,5 ≤ 6,9;
г) 1,1 < 1,2; д) 1,3 ≥ 1,2; е) 5 ≤ 6.
а) 1 < 2| • (-3)
-3 > -6;
б) 5 > 4,5| • (-2)
-10 < -9;
в) 6,5 ≤ 6,9| • (-10)
-65 ≥ -69;
г) 1,1 < 1,2| • (-4)
-4,4 > -4,8;
д) 1,3 ≥ 1,2| • (-3)
-3,9 ≤ -3,6;
е) 5 ≤ 6| • (-5)
-25 ≥ -30.
12. Запишите неравенство, которое получится, если числа в левой и правой частях неравенства заменить на обратные им числа.
Например, так как 5 < 6, то 1/5 > 1/6.
а) 6 > 3; б) 7 ≤ 10; в) 2 < 4;
г) 11 < 12; д) 13 ≥ 12; е) 15 ≤ 26.
а) 6 > 3, то 1/6 < 1/3;
б) 7 ≤ 10, то 1/7 ≥ 1/10;
в) 2 < 4, то 1/2 > 1/4;
г) 11 < 12, то 1/11 > 1/12;
д) 13 ≥ 12, то 1/13 ≤ 1/12;
е) 15 ≤ 26, то 1/15 ≥ 1/26.
13. Сравните:
а) 22 и 92; б) 52 и 62; в) 42 и 102;
г) 1,32 и 1,52; д) 7,282 и 8,372; е) 5,42 и 4,52;
ж) (-2)2 и (-3)2; з) 42 и (-4)2; и) (-4)2 и 12;
к) (-1)2 и (-1,4)2; л) (-4,9)2 и (-7)2; м) 42 и (-5)2.
При одинаковом показателе степени в итоге будет больше то число, основание которого больше. Если степень чётная, то число получается чётное, то есть в итоге будет больше то число, основание которого больше (даже если основание отрицательное число).
а) 22 < 92, так как 2 < 9;
б) 52 < 62, так как 5 < 6;
в) 42 < 102, так как 4 < 10;
г) 1,32 < 1,52, так как 1,3 < 1,5;
д) 7,282 < 8,372, так как 7,28 < 8,37;
е) 5,42 > 4,52, так как 5,4 > 4,5;
ж) (-2)2 < (-3)2, так как 2 < 3;
з) 42 = (-4)2, так как 4 = 4;
и) (-4)2 > 12, так как 4 > 1;
к) (-1)2 < (-1,4)2, так как 1 < 1,4;
л) (-4,9)2 < (-7)2, так как 4,9 < 7;
м) 42 < (-5)2, так как 4 < 5.
Доказываем (14-16)
14. Докажите, что:
а) если α > b и с > d, то α - d > b - с;
б) если α < b и с < d, то α - d < b - с;
в) если α < b и с > d, то α - с < b - d.
а) Если α > b и с > d, то α + с > b + d. Перенесём с в правую часть, а d - в левую, поменяв им знаки: α - d > b - с, что и требовалось доказать.
б) Если α < b и с < d, то α + с < b + d. Перенесём с в правую часть, а d - в левую, поменяв им знаки: α - d < b - с, что и требовалось доказать.
в) Если α < b и с > d, то α + d < b + c. Перенесём с в левую часть, а d - в правую, поменяв им знаки: α - c < b - d, что и требовалось доказать.
15. Докажите для положительных чисел α, b, с и d, что:
а) если α > b и с > d, то α/d > b/c; б) если α < b и с < d, то α/d < b/c.
а) Так как с > d, то 1/с < 1/d или 1/d > 1/с. Если α > b, то при подстановке α в левую часть неравенства вместо 1, а b в правую, неравенство останется верным: α/d > b/с, что и требовалось доказать.
б) Так как с < d, то 1/с > 1/d или 1/d < 1/с. Если α < b, то при подстановке α в левую часть неравенства вместо 1, а b в правую, неравенство останется верным: α/d < b/с, что и требовалось доказать.
16. Докажите, что:
а) если α < b < 0, то α2 > b2; б) если α < b и αb > 0, то 1/b < 1/α.
а) α < b < 0| • (-1)
-α > -b > 0| 2
(-α)2 > (-b)2 > 02
Если степень чётная, то число получается чётное, то есть в итоге будет больше то число, основание которого больше (даже если основание отрицательное число), то есть α2 > b2, что и требовалось доказать.
б) Если αb > 0, то или α > 0 и b > 0 или α < 0 и b < 0.
Если α > 0 и b > 0, то α < b и 1/α > 1/b или 1/b < 1/α, что и требовалось доказать.
Если α < 0 и b < 0, то -α > -b (так как знак минус меняет знак неравенства) или α < b и 1/α > 1/b или 1/b < 1/α, что и требовалось доказать.
17. Верно ли неравенство:
а) 6,7272 ≤ 6,(72) < 6,7273; б) -0,3132 < -0,(3) ≤ -0,3131?
а) 6,7272 ≤ 6,(72) < 6,7273
6,7272 ≤ 6,(72) < 6,7273
6,72720 ≤ 6,72727… < 6,72730 - верно;
б) -0,3132 < -0,(3) ≤ -0,3131
-0,3132 < -0,3333… ≤ -0,3131 - неверно, так как -0,3333… < -0,3132
-0,(3) < -0,3132 ≤ -0,3131
18. Солдат построили не по росту, но с чётким разделением на ряды и шеренги. В каждом ряду выбрали самого высокого, а из всех высоких — самого низкого. В каждой шеренге выбрали самого низкого, а из всех низких — самого высокого. Кто же выше ростом: самый низкий из высоких или самый высокий из низких? Указание. Рассмотрите случаи, когда два выбранных солдата стоят: 1) в одном ряду; 2) в одной шеренге; 3) в разных рядах и шеренгах.
1) Если два выбранных солдата, самый низкий из высоких и самый высокий из низких, стоят в одном ряду, то самый низкий из высоких выше, чем самый высокий из низких, так как в ряду выбирали самого высокого, который будет обязательно выше самого высокого из низких.
2) Если самый низкий из высоких и самый высокий из низких стоят в одной шеренге, то самый низкий из высоких будет выше, чем самый высокий из низких, так как в шеренге выбирали самого низкого, но самый низкий из высоких будет все равно выше самого высокого из низких.
3) Если же солдаты стоят в разных рядах и шеренгах, то их рост надо сравнить с ростом еще одного солдата, который стоит в одном ряду с самым низким из высоких и в одной шеренге с самым высоким из низких. Этот солдат ростом ниже, чем самый низкий из высоких, так как в ряду выбирали самых высоких, но он будет, выше, чем самый высокий из низких, так как в шеренге выбирали самых низких. То есть и в этом случае самый низкий из высоких выше самого высокого из низких.
19. Исследуем. Даны две дроби 95/111 и 99/112. Найдите:
а) все несократимые дроби со знаменателем 50, заключённые между данными дробями;
б) все несократимые дроби с числителем 50, заключённые между данными дробями;
в) все несократимые дроби с наименьшим натуральным знаменателем, заключённые между данными дробями.
а) 95/111 ≈ 0,856, 99/112 ≈ 0,884
0,856 < 0,86 < 0,87 < 0,88 < 0,884
0,86 = 86/100 = 43/50
0,87 = 87/100
0,88 = 88/100 = 44/50 = 22/25
Подходит только 43/50.
б) 95/111 ≈ 0,856, 99/112 ≈ 0,884
Рассмотрим 100/110, 100/112, 100/114, 100/116, 100/118
100/110 ≈ 0,909 - не подходит
100/112 ≈ 0,8928 - не подходит
100/114 ≈ 0,8772
100/116 ≈ 0,862
100/118 ≈ 0,8475 - не подходит
0,856 < 0,862 < 0,8772 < 0,884
Подходит только 100/114 = 50/57, так как 100/116 = 50/58 = 25/29.
в) 95/111 ≈ 0,856, 99/112 ≈ 0,884
Рассмотрим 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, 1/7, 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7
1/2 = 0,5 - не подходит
1/3 ≈ 0,333 - не подходит
2/3 ≈ 0,6667 - не подходит
1/4 = 0,25 - не подходит
3/4 = 0,75 - не подходит
1/5 = 0,2 - не подходит
2/5 = 0,4 - не подходит
3/5 = 0,6 - не подходит
4/5 = 0,8 - не подходит
1/6 ≈ 0,1667 - не подходит
5/6 ≈ 0,8333 - не подходит
1/7 ≈ 0,1428 - не подходит
2/7 ≈ 0,2857 - не подходит
3/7 ≈ 0,4286 - не подходит
4/7 ≈ 0,5714 - не подходит
5/7 ≈ 0,7143 - не подходит
6/7 ≈ 0,8571, - подходит: 0,856 < 0,8571 < 0,884.
Ответы по алгебре. 8 класс. Учебник. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Алгебра. 8 класс
