Monthly Archives: Июль 2022

8 класс. Алгебра. Потапов, Шевкин. Рабочая тетрадь №1. Ответы к стр. 15

Функции и графики
Понятие функции

33. Вычислите значение функции для указанных значений аргумента, если функция задана формулой:
а) у = 3х;

х	0	1	-1	2	-2	3	-3
у	0	3	-3	6	-6	9	-9

б) у = 5 - х.

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у	8	7	6	5	4	3	2

 

34. Функция задана формулой у = 2|х| - 1.
а) Вычислите значение функции для указанных значений аргумента:

х	-3	-2	-1	0	1	2	3
у	5	3	1	-1	1	3	5

б) Если ту же функцию обозначить f(х), то f(-3) = 2|-3| - 1 = 5. Запишите остальные значения функции:

f(-2) = 2|-2| - 1 = 3
f(-1) = 2|-1| - 1 = 1
f(0) = 2|0| - 1 = -1
f(1) = 2|1| - 1 = 1
f(2) = 2|2| - 1 = 3
f(3) = 2|3| - 1 = 5

в) Область определения функции состоит из семи чисел: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. Укажите все числа, из которых состоит множество значений функции:

-1, 1, 3, 5.

← Предыдущая

Следующая →

Ответы по алгебре. Рабочая тетрадь. 8 класс. Часть 1. Потапов М.К., Шевкин А.В.

Алгебра. 8 класс

8 класс. Алгебра. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 26

Простейшие функции. Квадратные корни
Функции и графики
Понятие функции

Ответы к стр. 26

60. а) Человек идёт со скоростью 4 км/ч. Запишите путь s, пройденный человеком, как функцию от времени t. Составьте таблицу, показывающую пройденный путь за время от 0 до 3 ч через каждые 20 мин.
б) Запишите стоимость s лотерейных билетов как функцию от количества k проданных билетов, если один билет стоит 30 р.
в) Запишите количество изготовленных деталей d как функцию от времени t, если за 1 ч изготавливают 4 детали.

а) s = 4t, 20 мин = ¹/₃ часа
s(0), если t = 0, то s = 4 • 0 = 0 (км)
s(¹/₃), если t = ¹/₃, то s = 4 • ¹/₃ = 1 ¹/₃ (км)
s(²/₃), если t = ²/₃, то s = 4 • ²/₃ = 2 ²/₃ (км)
s(1), если t = 1, то s = 4 • 1 = 4 (км)
s(⁴/₃), если t = ⁴/₃, то s = 4 • ⁴/₃ = 5 ¹/₃ (км)
s(⁵/₃), если t = ⁵/₃, то s = 4 • ⁵/₃ = 6 ²/₃ (км)
s(2), если t = 2, то s = 4 • 2 = 8 (км)
s(⁷/₃), если t = ⁷/₃, то s = 4 • ⁷/₃ = 9 ¹/₃ (км)
s(⁸/₃), если t = ⁸/₃, то s = 4 • ⁸/₃ = 10 ²/₃ (км)
s(3), если t = 3, то s = 4 • 3 = 12 (км)

t	0	1/3	2/3	1	4/3	5/3	2	7/3	8/3	3
s	0	11/3	22/3	4	51/3	62/3	8	91/3	102/3	12

б) s = 30k;
в) d = 4t.

61. Функция задана формулой у = 2х - 5. При каком значении аргумента х значение функции будет равно: 5, -3, 0, -5?

у = 5 ⇒ 5 = 2х - 5
            2х = 5 + 5
            х = 10 : 2
            х = 5

у = -3 ⇒ -3 = 2х - 5
             2х = 5 - 3
             х = 2 : 2
             х = 1

у = 0 ⇒ 0 = 2х - 5
            2х = 5 + 0
            х = 5 : 2
            х = 2,5

у = -5 ⇒ -5 = 2х - 5
              2х = 5 - 5
              х = 0 : 2
              х = 0  

62. Какой формулой может быть задана функция, если:
а) значениям х, равным 0, 1, 2, 3, 4, 5, соответствуют значения у, равные 0, 5, 10, 15, 20, 25;
б) значениям х, равным 1, 2, 3, 4, 5, 6, соответствуют значения у, равные 2,5, 5, 7,5, 10, 12,5, 15?

а) Любому значению х (кроме х = 0) соответствует у, кратный х. Во всех случаях этот коэффициент кратности равен: ⁵/₁ = ¹⁰/₂ = ¹⁵/₃ = ²⁰/₄ = ²⁵/₅ = 5, функция задана формулой: у = 5х.

б) Любому значению х соответствует у, кратный х. Во всех случаях этот коэффициент кратности равен: ^2,5/₁ = ⁵/₂ = ^7,5/₃ = ¹⁰/₄ = ^12,5/₅ = ¹⁵/₆ = 2,5, функция задана формулой: у = 2,5х.

63. Функция задана формулой у = ¹/_x. Вычислите: у(¹/₃), y(1), y(2), у(5). Результаты вычислений запишите в виде таблицы.

а) у(¹/₃), если х = ¹/₃, то у = 1 : ¹/₃ = 3,
у(1), если х = 1, то у = ¹/₁ = 1,
у(2), если х = 2, то у = ¹/₂ = 0,5,
у(5), если х = 5, то у = ¹/₅ = 0,2.

х	1/3	1	2	5
у	3	1	0,5	0,2

64. Функция задана таблицей:
а) 

x	1	2	3	4	5	6
y	1	3	5	7	9	11

б) 

x	0	1	2	3	4	5
y	-5	-4	-3	-2	-1	0

Какой формулой можно задать эту функцию:
1) y = x + 1; 2) у = х + 2; 3) у = х - 5; 4) у = 2х - 1?

а) Подставим в каждую формулу любую пару у и х по порядку:
1) 1 = 1 + 1,
1 ≠ 2 - неверно;

2) 1 = 1 + 2,
1 ≠ 3 - неверно;

3) 1 = 1 - 5,
1 ≠ -4 - неверно;

4) 1 = 2 • 1 - 1,
1 = 1 - верно,
3 = 2 • 2 - 1,
3 = 3 - верно,
5 = 2 • 3 - 1,
5 = 5 - верно,
7 = 2 • 4 - 1,
7 = 7 - верно,
9 = 2 • 5 - 1,
9 = 9 - верно,
11 = 2 • 6 - 1,
11 = 11 - верно, у = 2х - 1 - формула функции;

б) Подставим в каждую формулу любую пару у и х по порядку:
1) -5 = 0 + 1,
-5 ≠ 1 - неверно;

2) -5 = 0 + 2,
-5 ≠ 2 - неверно;

3) -5 = 0 - 5,
-5 = -5 - верно,
-4 = 1 - 5,
-4 = -4 - верно,
-3 = 2 - 5,
-3 = -3 - верно,
-2 = 3 - 5,
-2 = -2 - верно,
-1 = 4 - 5,
-1 = -1 - верно,
0 = 5 - 5,
0 = 0 - верно, у = х - 5 - формула функции;

4) -5 = 2 • 0 - 1,
-5 ≠ -1 - неверно.

65. Ищем информацию. Используя учебник, справочную литературу и Интернет, подготовьте сообщение о Н. И. Лобачевском, его жизни и вкладе в науку.

Выдающийся российский математик, создатель неевклидовой геометрии Николай Иванович Лобачевский родился 1 декабря (20 ноября по старому стилю) 1792 года в Нижнем Новгороде.
Его отец, мелкий чиновник, Иван Максимович Лобачевский умер, когда мальчику было 7 лет, после чего мать вместе с тремя сыновьями была вынуждена переехать в Казань. Здесь Лобачевский посещал гимназию в качестве вольнослушателя. Окончив гимназию, в 1807 году он поступил в Казанский университет.
В 1811 году, завершив обучение, Лобачевский получил степень магистра по физике и математике с отличием и был оставлен при учебном заведении. В конце 1811 года Лобачевский представил рассуждение "Теория эллиптического движения небесных тел". 26 марта 1814 года Лобачевский по ходатайству Броннера и Бартельса был назначен адъюнктом чистой математики.
7 июля 1816 года Лобачевский был утвержден экстраординарным профессором. Преподавательская деятельность Лобачевского до 1819 года была посвящена исключительно математике. Он читал курсы арифметики, алгебры и тригонометрии, плоской и сферической геометрии, в 1818 году приступил к курсу дифференциального и интегрального исчисления по Монжу и Лагранжу.
В 1819 году Лобачевского назначили деканом физико‑математического факультета Казанского университета. В 1821 году профессор был представлен к награждению орденом святого Владимира IV степени, который был утвержден и вручен в 1824 году. В эти годы Лобачевский подготовил учебник по геометрии, осужденный рецензентом академиком Фуссом за использование метрической системы мер и чрезмерный отход от Евклидовского канона (он так и не был опубликован при жизни автора). Другой написанный им учебник, по алгебре, удалось опубликовать только спустя 10 лет, в 1834 году.
В 1827 году Лобачевский был избран ректором университета. Со свойственной ему энергией новый ректор сразу погрузился в хозяйственные дела. Он занимался реорганизацией штата, строительством учебных корпусов, механических мастерских, лабораторий, поддержанием библиотеки и минералогической коллекции, участвовал в издании «Казанского Вестника». По его инициативе начали издаваться «Ученые записки Казанского университета», были организованы астрономическая обсерватория и большой физический кабинет.
Главное из того, что совершил Лобачевский в науке, состояло в доказательстве существования более чем одной «истинной» геометрии. Работа «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных» в то время не была понята и не получила поддержки научного сообщества. Его труд «О началах геометрии», представленный в 1832 году советом Казанского университета в Академию наук, получил отрицательную оценку. Почти никто из коллег Лобачевского не поддержал, росли непонимание и невежественные насмешки, однако ученый терпеливо продолжал свою работу. В период с 1835 по 1838 год он опубликовал статьи о «воображаемой геометрии», а затем вышла наиболее фундаментальная из его работ «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных».

← Предыдущая

Следующая →

Ответы по алгебре. 8 класс. Учебник. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Алгебра. 8 класс

8 класс. Алгебра. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 25

Простейшие функции. Квадратные корни
Функции и графики
Понятие функции

Ответы к стр. 25

53. Пусть дана функция у = f(x) (х ∈ М). Что называют:
а) независимой переменной или аргументом;
б) зависимой переменной или функцией;
в) областью определения функции?
Приведите три примера функций, заданных формулами. Назовите зависимую и независимую переменные, область определения этой функции.

а) х - независимая переменная или аргумент;
б) у - зависимая переменная или функция;
в) множество М - область определения функции.

у = 2х, у - зависимая переменная, х - независимая переменная, (-∞; +∞) - область определения этой функции,

у = ¹/_х, у - зависимая переменная, х - независимая переменная, (-∞; 0) ∪ (0; +∞) - область определения этой функции,

у = ¹/_1-х, у - зависимая переменная, х - независимая переменная, (-∞; 1) ∪ (1; +∞) - область определения этой функции.

54. а) Функция задана формулой у = 2х + 7. Назовите зависимую и независимую переменные, область определения этой функции. Вычислите: у(3), y(-2), у(0). Результаты запишите в таблицу. Например, если х = -5, то у = 2 • (-5) + 7 = -10 + 7 = -3.

х	-5
у	-3

 

б) Функция задана формулой у = х². Вычислите: y(0), у(2), у(-2), y(-1), y(0,4), у(³/₄). Решение оформите в виде таблицы.

а) у = 2х + 7, у - зависимая переменная, х - независимая переменная, (-∞; +∞) - область определения этой функции
у(3), если х = 3, то у = 2 • 3 + 7 = 6 + 7 = 13
y(-2), если х = -2, то у = 2 • (-2) + 7 = -4 + 7 = 3
у(0), если х = 0, то у = 2 • 0 + 7 = 0 + 7 = 7

х	-5	3	-2	0
у	-3	13	3	7

б) у(0), если х = 0, то у = 0² = 0
y(2), если х = 2, то у = 2² = 4
у(-2), если х = -2, то у = (-2)² = 4
у(-1), если х = -1, то у = (-1)² = 1
y(0,4), если х = 0,4, то у = 0,4²  = 0,16
у(³/₄), если х = ³/₄, то у = (³/₄)² = ⁹/₁₆

х	0	2	-2	-1	0,4	3/4
у	0	4	4	1	0,16	9/16

 

55. Функция задана формулой у = 3x - 1. Верно ли равенство:
а) у(2) = 3; б) y(5) = 17; в) у(¹/₃) = 0; г) y(-1) = -3?

а) у(2), если х = 2, то у = 3 • 2 - 1 = 6 - 1 = 5 - неверно;
б) у(5), если х = 5, то у = 3 • 5 - 1 = 15 - 1 = 14 - неверно;
в) у(¹/₃), если х = ¹/₃, то у = 3 • ¹/₃ - 1 = 1 - 1 = 0 - верно;
г) у(-1), если х = -1, то у = 3 • (-1) - 1 = -3 - 1 = -4 - неверно.

56. Функция задана формулой у = 1 - 4х.
а) Найдите: у(6), у(-7), у(0,5), y(²/₃).
б) Верно ли равенство: у(5) = 19, у(-2) = 9, y(0) = 1, y(-0,5) = 2, y(- ³/₄) = 4?

а) у(6), если х = 6, то у = 1 - 4 • 6 = 1 - 24 = -23,
у(-7), если х = -7, то у = 1 - 4 • (-7) = 1 + 28 = 29,
у(0,5), если х = 0,5, то у = 1 - 4 • 0,5 = 1 - 2 = -1,
у(²/₃), если х = ²/₃, то у = 1 - 4 • ²/₃ = 1 - ⁸/₃ = - ⁵/₃ = -1 ²/₃;

б) у(5), если х = 5, то у = 1 - 4 • 5 = 1 - 20 = -19 - неверно,
у(-2), если х = -2, то у = 1 - 4 • (-2) = 1 + 8 = 9 - верно,
у(0), если х = 0, то у = 1 - 4 • 0 = 1 - 0 = 1 - верно,
у(-0,5), если х = -0,5, то у = 1 - 4 • (-0,5) = 1 + 2 = 3 - неверно,
у(- ³/₄), если х = - ³/₄, то у = 1 - 4 • (- ³/₄) = 1 + 3 = 4 - верно.

57. Задайте функцию формулой, если закон зависимости у от х для х > 0 заключается в том, что каждому х соответствует у:
а) в 2 раза больший; б) меньший на 2;
в) больший на 5;         г) в 4 раза больший;
д) в 7 раз меньший;   е) равный удвоенному квадрату х.

а) у = 2х;
б) у = х - 2;
в) у = х + 5;
г) у = 4х;
д) у = ¹/₇ х;
е) у = 2х².

58. Вычислите значения функции у = 3х, взяв значения х от -2 до 2 через 0,5. Решение оформите в виде таблицы.

у(-2), если х = 0, то у = 3 • (-2) = -6
y(-1,5), если х = -1,5, то у = 3 • (-1,5) = -4,5
у(-1), если х = -1, то у = 3 • (-1) = -3
у(-0,5), если х = -0,5, то у = 3 • (-0,5) = -1,5
y(0), если х = 0, то у = 3 • 0 = 0
у(0,5), если х = 0,5, то у = 3 • 0,5 = 1,5
y(1), если х = 1, то у = 3 • 1 = 3
у(1,5), если х = 1,5, то у = 3 • 1,5 = 4,5
у(2), если х = 2, то у = 3 • 2 = 6

х	-2	-1,5	-1	-0,5	0	0,5	1	1,5	2
у	-6	-4,5	-3	-1,5	0	1,5	3	4,5	6

 

59. Вычислите значения функции у = х², взяв значения х от -1 до 1 через 0,2. Решение оформите в виде таблицы.

у(-1), если х = -1, то у = (-1)² = 1
y(-0,8), если х = -0,8, то у = (-0,8)² = 0,64
у(-0,6), если х = -0,6, то у = (-0,6)² = 0,36
у(-0,4), если х = -0,4, то у = (-0,4)² = 0,16
y(-0,2), если х = -0,2, то у = (-0,2)² = 0,04
у(0), если х = 0, то у = 0² = 0
y(0,2), если х = 0,2, то у = 0,2² = 0,04
у(0,4), если х = 0,4, то у = 0,4² = 0,16
у(0,6), если х = 0,6, то у = 0,6² = 0,36
у(0,8), если х = 0,8, то у = 0,8² = 0,64
y(1), если х = 1, то у = 1² = 1

х	-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
у	1	0,64	0,36	0,16	0,04	0	0,04	0,16	0,36	0,64	1

← Предыдущая

Следующая →

Ответы по алгебре. 8 класс. Учебник. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Алгебра. 8 класс

8 класс. Алгебра. Потапов, Шевкин. Рабочая тетрадь №1. Ответы к стр. 14

Функции и графики
Декартова система координат на плоскости

29. Выпишите пары точек, симметричных относительно оси Оу на рисунке в задании 27:

А и D;   B и C;   С и B;   D и A;
Е и H;   F и G;   G и F;   Н и E;
K и K;   L и N;   М и M;  N и L;
О и О.

30. Выпишите пары точек, симметричных относительно начала координат на рисунке в задании 27:

А и E;   B и F;   С и G;   D и H;
Е и A;   F и B;   G и C;   Н и D;
K и M;   L и N;   М и K;  N и L;
О и О.

31. Отметьте в координатной плоскости точки:
A(3; 6);
B(5; -2);
C(-2; 5);
D(-4; -3);
E(0; -5);
F(0; 2);
G(-3; 0);
H(4; 0).

32^∗. В координатной плоскости задали точку А(α; b). Затем абсциссу и ординату поменяли местами, получили новую точку В(b; α).
а) Каким свойством обладают точки А и В?
б) Где лежат все точки А и В, такие, что α = b?

а) Точки А и В лежат в одной и той же координатной четверти симметрично относительно прямой, проведённой через точки, у которых абсцисса равна ординате.
б) Точки А и В лежат в одной и той же координатной четверти на прямой, проведённой через точки, у которых абсцисса равна ординате.

← Предыдущая

Следующая →

Ответы по алгебре. Рабочая тетрадь. 8 класс. Часть 1. Потапов М.К., Шевкин А.В.

Алгебра. 8 класс

8 класс. Алгебра. Потапов, Шевкин. Рабочая тетрадь №1. Ответы к стр. 13

Функции и графики
Декартова система координат на плоскости

27. Запишите координаты точек, изображённых на рисунке:

А(5; 3);    В(3; 5);
С(-3; 5);   D(-5; 3);
Е(-5; -3);  F(-3; -5);
G(3; -5);   H(5; -3);
K(0; 4);     L(-4; 0);
M(0; -4);   N(4; 0);
O(0; 0).

28. Выпишите пары точек, симметричных относительно оси Ох на рисунке в задании 27:

А и H;   B и G;   С и F;   D и Е;
Е и D;   F и С;   G и В;   Н и А;
K и М;   L и L;   М и K;   N и N;
О и О.

← Предыдущая

Следующая →

Ответы по алгебре. Рабочая тетрадь. 8 класс. Часть 1. Потапов М.К., Шевкин А.В.

Алгебра. 8 класс