Author Archives: Techadminic

8 класс. Алгебра. Потапов, Шевкин. Рабочая тетрадь №1. Ответы к стр. 7

Функции и графики
Координатная ось. Модуль числа

12. а) Подпишите координаты точек А, В, С, D, F на рисунке:

б) Определите модуль числа:

|1| = 1;
|-1| = 1;
|2| = 2;
|-2| = 2;
|3| = 3;
|-3| = 3;
|0| = 0;
|2,4| = 2,4.

в) Выразите длину отрезка через модуль разности координат его концов:

ОЕ = |0 - 1| = |-1| = 1;
ОА = |0 - 2| = |-2| = 2;
ОВ = |0 - (-1)| = |1| = 1;
ОС = |0 - 3| = |-3| = 3;
OD = |0 - (-2)| = |2| = 2;
OF = |0 - (-3)| = |3| = 3;
АВ = |2 - (-1)| = |3| = 3;
CD = |3 - (-2)| = |5| = 5;
AF = |2 - (-3)| = |5| = 5;
BD = |-1 - (-2)| = |1| = 1.

13. а) Определите модуль числа:

|1,5| = 1,5;
|-1,5| = 1,5;
|7,2| = 7,2;
|-7,2| = 7,2;
|8 ¹/₃| = 8 ¹/₃;
|-8 ¹/₃| = 8 ¹/₃;
|2,99| = 2,99;
|-2,99| = 2,99.

б) Запишите пару противоположных чисел: 1,5 и -1,5

5 и -5;
-6,9 и 6,9;
8 ¹/₃ и -8 ¹/₃;
-7,2 и 7,2;
100 и -100;
0 и 0;
2017 и -2017;
-2018 и 2018.

← Предыдущая

Следующая →

Ответы по алгебре. Рабочая тетрадь. 8 класс. Часть 1. Потапов М.К., Шевкин А.В.

Алгебра. 8 класс

8 класс. Алгебра. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 16

Простейшие функции. Квадратные корни
Функции и графики
Множества чисел

Ответы к стр. 16

30. а) Какое множество чисел называют отрезком, интервалом, полуинтервалом?
б) Что означает запись: х → +∞; х → -∞?

а) Отрезок - множество точек оси х, состоящее из точек α и b и всех точек, находящихся между ними (отрезок от α до b - обозначают [α; b]). Отрезок [α; b] - это множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству α ≤ х ≤ b.

Интервал - множество точек оси х, состоящее из всех точек, находящихся между точками α и b, не включая точки α и b (интервал от α до b - обозначают (α; b)). Интервал (α; b) - это множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству α < х < b.

Полуинтервал - множество точек оси х, состоящее из всех точек, находящихся между точками α и b, включая только одну из точек α или b (полуинтервал от α до b, включая α - обозначают [α; b), полуинтервал от α до b, включая b - обозначают (α; b]). Интервал [α; b) или (α; b] - это множество всех действительных чисел х, удовлетворяющих двойному неравенству α ≤ х < b или α < х ≤ b.

б) х → +∞ - точка х стремится к плюс бесконечности (движется по координатной оси в положительном направлении и может принимать сколь угодно большие значения).

х → -∞ - точка х стремится к минус бесконечности (движется по координатной оси в отрицательном направлении и её модуль может принимать сколь угодно большие значения).

← Предыдущая

Следующая →

Ответы по алгебре. 8 класс. Учебник. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Алгебра. 8 класс

8 класс. Алгебра. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 14

Простейшие функции. Квадратные корни
Функции и графики
Координатная ось. Модуль числа

Ответы к стр. 14

28. Докажите, что если точка С(x) принадлежит отрезку АВ, где А(х₁) и В(x₂), и делит этот отрезок в отношении АС : СВ = m : n, то координата точки С вычисляется по формуле x = (nx₁ + mx₂)/(m + n).

Если х₁ > х₂, то х₁ > х > х₂, следовательно, ВС = х - х₂, СА = х₁ - х. Так как АС : СВ = m : n, то ^АС/_m = ^СВ/_n или (х₁ - х)/m = (х - х₂)/n.
(х₁ - х)/m = (х - х₂)/n,
(х₁ - х)n = (х - х₂)m,
nх₁ - nх = mх - mх₂,
nх₁ + mх₂ = mх + nх,
nх₁ + mх₂ = (m + n)х,
х = (nх₁ + mх₂)/(m + n);

Если х₁ < х₂, то х₁ < х < х₂, следовательно, АС = х - х₁, СВ = х₂ - х. Так как АС : СВ = m : n, то ^АС/_m = ^СВ/_n или (х - х₁)/m = (х₂ - х)/n.
(х - х₁)/m = (х₂ - х)/n,
(х - х₁)n = (х₂ - х)m,
nх - nх₁ = mх₂ - mх,
nх + mх = mх₂ + nх₁,
(m + n)х = nх₁ + mх₂,
х = (nх₁ + mх₂)/(m + n).

29. Даны точки А(3) и В(11). Определите координату точки С, если:
а) С — середина отрезка АВ; б) А — середина отрезка ВС;
в) АС : СВ = 1 : 3; г) АС : СВ = 3 : 5.

а) С = ^А+В/₂ = ³⁺¹¹/₂ = 7;
б) А = ^В+С/₂ ⇒ С = 2А - В = 2•3 - 11 = -5;
в) из задания 28: х = (nх₁ + mх₂)/(m + n),
С = ^1А+3В/₁₊₃ = ^1•3+3•11/₄ = 9;
г) из задания 28: х = (nх₁ + mх₂)/(m + n),
С = ^3А+5В/₃₊₅ = ^3•3+5•11/₈ = 8.

← Предыдущая

Следующая →

Ответы по алгебре. 8 класс. Учебник. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Алгебра. 8 класс

8 класс. Алгебра. Никольский. Учебник. Ответы к стр. 13

Простейшие функции. Квадратные корни
Функции и графики
Координатная ось. Модуль числа

Ответы к стр. 13

20. Укажите на координатной оси числа:
а) -5 и 0,31; б) 15,57 и 5,176;
в) -π и π²; г) -5 ¹/₃ и 4,01.

兀 ≈ 3,14, 兀² ≈ 9,86

21. Укажите хотя бы три числа, находящиеся на координатной оси между числами:
а) 3,11 и 3,12; б) 2,082 и 2,081;
в) ¹/₈ и ¹/₉;      г) 3,5 и 3 ⁴/₉.

а) 3,11 < 3,111 < 3,112 < 3,113 < 3,12;
б) 2,082 > 2,0819 > 2,0818 > 2,0817 > 2,081;
в) ¹/₈ = 0,125, ¹/₉ = 0,(1),
0,125 > 0,124 > 0,123 > 0,122 > 0,(1);
г) 3 ⁴/₉ = 3,(4),
3,5 > 3,49 > 3,48 > 3,47 > 3,(4).

22. а) Каждой ли точке координатной оси поставлено в соответствие число?
б) Каждому ли числу поставлена в соответствие точка координатной оси?

а) Каждой точке на координатной оси ставится в соответствие действительное число.
б) Каждому числу  ставится в соответствие точка на координатной прямой. Между точками на координатной оси и действительными числами установлено взаимно-однозначное соответствие.

23. Решите уравнение:
а) |x| = 5;                       б) |2х - 3| = 7;
в) ||x| - 2| = 4;              г) ||х| - 4| = 2;
д) ||2x - 5| - 1| = 7;       е) ||2х - 1| - 5| = 7;
ж) ||2x - 7| - 5| = 1;      з) |х - 1| = |2х - 4|;
и) |3х + 2| = |5х + 6|; к) |3х - 1| = |х - 5|.

а) |x| = 5,
х₁ = 5, х₂ = -5;

б) |2х - 3| = 7,
2х - 3 = 7   2х - 3 = -7,
2х = 10      2х = -4,
х₁ = 5        х₂ = -2;

в) ||x| - 2| = 4,
|x| - 2 = 4   |x| - 2 = -4,
|x| = 6        |x| = -2 - не имеет решений,
х₁ = -6, х₂ = 6;

г) ||х| - 4| = 2,
|х| - 4 = 2   |х| - 4 = -2,
|х| = 6        |х| = 2,
х₁ = 6, х₂ = -6, х₃ = 2, х₄ = -2;

д) ||2x - 5| - 1| = 7,
|2x - 5| - 1 = 7   |2x - 5| - 1 = -7 - не имеет решений,
|2x - 5| = 8,
2x - 5 = 8   2x - 5 = -8,
2х = 13      2х = -3,
х₁ = 6,5     х₂ = -1,5;

е) ||2х - 1| - 5| = 7,
|2х - 1| - 5 = 7   |2х - 1| - 5 = -7 - не имеет решений,
|2х - 1| = 12,
2х - 1 = 12   2х - 1 = -12,
2х = 13        2х = -11,
х₁ = 6,5       х₂ = -5,5;

ж) ||2x - 7| - 5| = 1,
|2x - 7| - 5 = 1   |2x - 7| - 5 = -1,
|2x - 7| = 6   |2x - 7| = 4,
2x - 7 = 6   2x - 7 = -6   2x - 7 = 4   2x - 7| = -4,
2х = 13      2х = 1          2х = 11      2х = 3,
х₁ = 6,5     х₂ = 0,5        х₃ = 5,5     х₄ = 1,5;

з) |х - 1| = |2х - 4|,
х - 1 = 2х - 4   х - 1 = -(2х - 4),
х₁ = 3             х₂ = 1 ²/₃;

и) |3х + 2| = |5х + 6|,
3х + 2 = 5х + 6   3х + 2 = -(5х + 6),
х₁ = -2                х₂ = -1;

к) |3х - 1| = |х - 5|,
3х - 1 = х - 5   3х - 1 = -(х - 5),
х₁ = -2            х₂ = 1 ¹/₂.

24. Исследуем. Найдите значение α, при котором уравнение:
а) |2х - 4| = |х - α|; б) |3х - 2| = |х - α|
имеет единственный корень.

а) |2х - 4| = |х - α|,
2х - 4 = х - α   2х - 4 = -(х - α),
х₁ = 4 - α        х₂ = (α + 4) : 3,
Уравнение имеет единственный корень, если х₁ = х₂:
4 - α = (α + 4) : 3,
α = 2;

б) |3х - 2| = |х - α|,
3х - 2 = х - α   3х - 2 = -(х - α)
х₁ = (2 - α) : 2   х₂ = (α + 2) : 4,
Уравнение имеет единственный корень, если х₁ = х₂:
(2 - α) : 2 = (α + 2) : 4,
α = ²/₃.

Доказываем (25-28)

25. Докажите свойства 1—6 модуля числа.

Свойство 1: |-α| = |α|.
Доказательство. |-α| = α, |α| = α ⇒ |-α| = |α|.

Свойство 2: α ≤ |α|.
Доказательство. Если α > 0, то |α| = α, если α < 0, то |α| > α ⇒ |α| ≥ α.

Свойство 3: |α • b| = |α| • |b|.
а) Если α > 0, b > 0, то |α| = α и |b| = b (|α| • |b| = αb), а |α • b| = αb ⇒ |α • b| = |α| • |b|.
б) Если α < 0, b < 0, то |-α| = α и |-b| = b (|-α| • |-b| = αb), а |α • b| = |(-α) • (-b)| = αb ⇒ |α • b| = |α| • |b|.
в) Если α < 0, b > 0, то |-α| = α и |b| = b (|-α| • |b| = αb), а |α • b| = |(-α) • b| = |-αb| = αb ⇒ |α • b| = |α| • |b|.
г) Если α > 0, b < 0, то |α| = α и |-b| = b (|α| • |-b| = αb), а |α • b| = |α • (-b)| = |-αb| = αb ⇒ |α • b| = |α| • |b|.

Свойство 4: |^α/_b| = ^|α|/_|b|.
Доказательство. а) Если α > 0, b > 0, то |α| = α и |b| = b (^|α|/_|b| = ^α/_b), а |^α/_b| = ^α/_b ⇒ |^α/_b| = ^|α|/_|b|.
б) Если α < 0, b < 0, то |-α| = α и |-b| = b (^|-α|/_|-b| = ^α/_b), а |^α/_b| = |^(-α)/_(-b)| = ^α/_b ⇒ |^α/_b| = ^|α|/_|b|.
в) Если α < 0, b > 0, то |-α| = α и |b| = b (^|-α|/_|b| = ^α/_b), а |^α/_b| = |^(-α)/_b| = |- ^α/_b| = ^α/_b ⇒ |^α/_b| = ^|α|/_|b|.
г) Если α > 0, b < 0, то |α| = α и |-b| = b (^|α|/_|-b| = ^α/_b), а |^α/_b| = |^α/_(-b)| = |- ^α/_b| = ^α/_b ⇒ |^α/_b| = ^|α|/_|b|.

Свойство 5: |α + b| ≤ |α| + |b|.
Доказательство. а) Если α > 0, b > 0, то |α| = α и |b| = b (|α| + |b| = α + b), а |α + b| = α + b ⇒ |α + b| = |α| + |b|.
б) Если α < 0, b < 0, то |-α| = α и |-b| = b (|-α| + |-b| = α + b), а |α + b| = |-α - b| = |-(α + b)| = α + b ⇒ |α + b| = |α| + |b|.
в) Если α < 0, b > 0, то |-α| = α и |b| = b (|-α| + |b| = α + b), а |α + b| = |-α + b| = |-(b - α)| = |b - α| ⇒ |b - α| < |-α| + |b|, значит, |α + b| < |α| + |b|.
г) Если α > 0, b < 0, то |α| = α и |-b| = b (|α| + |-b| = α + b), а |α + (-b)| = |α - b| ⇒ |α - b| < |α| + |-b|, значит, |α + b| < |α| + |b|.

Свойство 6: |α - b| ≤ |α| + |b|.
Доказательство. а) Если α > 0, b > 0, то |α| = α и |b| = b (|α| + |b| = α + b) и |α - b| ⇒ |α - b| < |α| + |b|.
б) Если α < 0, b < 0, то |-α| = α и |-b| = b (|-α| + |-b| = α + b), а |-α - (-b)| = |-α + b| = |-(α - b)| = |α - b| ⇒ |α - b| < |α| + |b|.
в) Если α < 0, b > 0, то |-α| = α и |b| = b (|-α| + |b| = α + b), а |-α + b| = |-(b - α)| = |b - α| ⇒ |b - α| < |-α| + |b|, значит, |α + b| < |α| + |b|.
г) Если α > 0, b < 0, то |α| = α и |-b| = b (|α| + |-b| = α + b), а |α - (-b)| = |α + b| = α + b ⇒ |α - b| = |α| + |b|.

26. Докажите, что для любого числа х:
а) |15х - 16| = |16 - 15х|;         б) |х² - 7| = |7 - х²|;
в) 12х - 1 ≤ |1 - 12х|;                 г) х² - 2011 ≤ |2011 - х²|;
д) |х² - 49| = |х - 7| • |х + 7|; е) |х² - 3| = |x⁴ - 9|/|x² + 3|;
ж) |8 + 5х| ≤ |1 + 2х| + |7 + 3х|;
з) |1 + 6х| ≤ |5х - 11| + |12 + х|;
и) |2 + 4х| ≤ |6 + 7х| + |4 + 3х|;
к) |х - 23| ≤ |12х - 11| + |12 + 11х|.

а) |15х - 16| = |16 - 15х|,
|16 - 15х| = |-(15х - 16)| = |15х - 16| - свойство 1;

б) |х² - 7| = |7 - х²|,
|7 - х²| = |-(х² - 7)| = |х² - 7| - свойство 1;

в) 12х - 1 ≤ |1 - 12х|,
|1 - 12х| = |-(12х - 1)| = |12х - 1| - свойство 1,
12х - 1 ≤ |12х - 1| - свойство 2;

г) х² - 2011 ≤ |2011 - х²|,
|2011 - х²| = |-(х² - 2011)| = |х² - 2011| - свойство 1,
х² - 2011 ≤ |х² - 2011| - свойство 2;

д) |х² - 49| = |х - 7| • |х + 7|,
|х - 7| • |х + 7| = |(х - 7) • (х + 7)| - свойство 3,
|(х - 7) • (х + 7)| = |х² - 7²| = |х² - 49|;

е) |х² - 3| = |x⁴ - 9|/|x² + 3|,
|x⁴ - 9|/|x² + 3| = |(x² - 3)(x² + 3)|/|x² + 3| = |x² - 3|•|x² + 3|/|x² + 3| - свойство 3,
|x² - 3|•|x² + 3|/|x² + 3| = |x² - 3| - свойство 4;

ж) |8 + 5х| ≤ |1 + 2х| + |7 + 3х|,
|8 + 5х| ≤ |1 + 2х + 7 + 3х| - свойство 5,
|8 + 5х| ≤ |8 + 5х|;

з) |1 + 6х| ≤ |5х - 11| + |12 + х|,
|1 + 6х| ≤ |5х - 11 + 12 + х| - свойство 5,
|1 + 6х| ≤ |1 + 6х|;

и) |2 + 4х| ≤ |6 + 7х| + |4 + 3х|,
|2 + 4х| ≤ |6 + 7х + 4 + 3х| - свойство 5,
|2 + 4х| ≤ |10 + 10х|,
|10(0,2 + 0,4х)| ≤ |10(1 + х)|,
|10|•|0,2 + 0,4х| ≤ |10|•|1 + х| - свойство 3,
|0,2 + 0,4х| ≤ |1 + х|;

к) |х - 23| ≤ |12х - 11| + |12 + 11х|,
|х - 23| ≤ |12х - 11 + 12 + 11х| - свойство 6,
|х - 23| ≤ |23х + 1|,
|23(^х/₂₃ - 1)| ≤ |23(х + ¹/₂₃)|,
|23|•|^х/₂₃ - 1| ≤ |23|•|х + ¹/₂₃| - свойство 3,
|^х/₂₃ - 1| ≤ |х + ¹/₂₃|.

27. а) Докажите, что расстояние между точками А (х₁) и В (х₂) вычисляется по формуле АВ = |х₁ - х₂|.
б) Докажите, что координата точки С(х) — середины отрезка АВ, где A(x₁) и В(х₂), — вычисляется по формуле х = (x₁+x₂)/2.

а) Если х₁ > 0, х₂ > 0, х₂ > х₁, то АВ = х₂ - х₁ = |-(х₁ - х₂)| = |х₁ - х₂|.
Если х₁ < 0, х₂ < 0, х₂ > х₁, то АВ = х₂ - х₁ = |-х₂ - (-х₁)| = |х₁ - х₂|.
Если х₁ > 0, х₂ < 0, х₂ < х₁, то АВ = х₁ - х₂ = |х₁ - х₂|.

б) Если х₁ > х₂, то х₁ > х > х₂, следовательно, ВС = х - х₂, СА = х₁ - х. Так как ВС = СА, то х - х₂ = х₁ - х.
х - х₂ = х₁ - х,
х + х = х₁ + х₂,
2х = х₁ + х₂,
х = (х₁ + х₂)/2;

Если х₁ < х₂, то х₁ < х < х₂, следовательно, АС = х - х₁, СВ = х₂ - х. Так как АС = СВ, то х - х₁ = х₂ - х.
х - х₁ = х₂ - х,
х + х = х₁ + х₂,
2х = х₁ + х₂,
х = (х₁ + х₂)/2.

← Предыдущая

Следующая →

Ответы по алгебре. 8 класс. Учебник. Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.

Алгебра. 8 класс

8 класс. Алгебра. Потапов, Шевкин. Рабочая тетрадь №1. Ответы к стр. 6

Функции и графики
Числовые неравенства

8. Умножьте верное числовое неравенство на отрицательное число:
3 < 7| • (-2)
-6 > -14

а) 5 < 6| • (-3)
 -15 > -18

б) -32 > -44| • (-¹/₄)
       8 < 11

в) 0 < 5| • (-5)
    0 > -25

9. Умножьте верные числовые неравенства с положительными числами:
_×13 < 15
     2 < 3  
  26 < 45

а) _×25 < 30
        3 < 4   
      75 < 120

б) _×7 < 13
      5 < 6  
    35 < 78

в) _×25 < 45
     0,1 < 0,2
     2,5 < 9

10. Придумайте такие числа α, b, c, d, чтобы были верны неравенства:
α < b, c < d, αс > bd.

α = -2, b = -1, c = -3, d = 4.
-2 < -1, -3 < 4, -2•(-3) > -1•4

11. Длина α и ширина b прямоугольника измерены приближённо. Известно, что 5 < α < 6, 3 < b < 4. В каких границах заключены периметр Р и площадь S этого прямоугольника?

Р = 2(α + b)
P₁ = 2(5 + 3) = 16
Р₂ = 2(6 + 4) = 20
16 < Р < 20

S = αb
S₁ = 5 • 3 = 15
S₂ = 6 • 4 = 24
15 < S < 24

← Предыдущая

Следующая →

Ответы по алгебре. Рабочая тетрадь. 8 класс. Часть 1. Потапов М.К., Шевкин А.В.

Алгебра. 8 класс