Monthly Archives: Май 2026

  • 24
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 19

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №19 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В девятнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна исследуются свойства параллельных прямых при их взаимодействии с плоскостью. Нам дано, что две смежные стороны параллелограмма пересекают плоскость α. Необходимо доказать, что противоположные им стороны также будут её пересекать. Доказательство строится на фундаментальной теореме о связи параллельных прямых и плоскости.

Решение 1:

Условие задачи:

Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α.

Решение задачи №19 (Доказательство):

Чертеж к задаче 19 по геометрии 10 класс Атанасян стороны параллелограмма пересекают плоскость

Для доказательства воспользуемся важным утверждением стереометрии: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

1. Рассмотрим пару сторон AB и CD:

  1. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть прямая AB || DC.
  2. По условию задачи, прямая AB пересекает плоскость α.
  3. Так как AB || DC и AB пересекает плоскость α, то по теореме параллельная ей прямая DC также пересекает плоскость α.

2. Рассмотрим пару сторон BC и AD:

  1. Аналогично, противоположные стороны BC и AD параллельны друг другу, то есть прямая BC || AD.
  2. По условию задачи, прямая BC пересекает плоскость α.
  3. Так как BC || AD и BC пересекает плоскость α, то по теореме параллельная ей прямая AD также пересекает плоскость α.

Вывод: Обе прямые (AD и DC) гарантированно пересекают плоскость α.

Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Дано:

• ABCD — параллелограмм.

• Прямая AB пересекает плоскость α (AB ∩ α).

• Прямая BC пересекает плоскость α (BC ∩ α).

Доказать:

• Прямая AD пересекает плоскость α (AD ∩ α).

• Прямая DC пересекает плоскость α (DC ∩ α).

Доказательство:

Чертеж к задаче 19 по геометрии 10 класс Атанасян стороны параллелограмма пересекают плоскость

Вспомним важное свойство параллелограмма: его противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, AB || CD и BC || AD.

1. Докажем пересечение для прямой AD:

  1. По условию задачи, прямая BC пересекает плоскость α.
  2. Так как ABCD — параллелограмм, сторона AD параллельна стороне BC (AD || BC).
  3. Используем теорему о пересечении плоскости параллельными прямыми: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
  4. Поскольку BC пересекает плоскость α и (AD || BC), то прямая AD также пересекает плоскость α.

2. Докажем пересечение для прямой DC:

  1. По условию задачи, прямая AB пересекает плоскость α.
  2. В параллелограмме сторона DC параллельна стороне AB (DC || AB).
  3. Применяя ту же теорему, получаем: так как AB пересекает плоскость α и DC || AB, то прямая DC гарантированно пересекает плоскость α.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 18 (стр. 13) → Следующее задание 20 (стр. 13)

  • 20
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 18

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №18 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В восемнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается классическая пространственная задача, связывающая параллельные прямые, отрезок и плоскость. Чтобы решить её, сначала необходимо доказать, что все ключевые точки лежат в одной плоскости, после чего решение сводится к подобию треугольников из курса планиметрии.

Решение 1:

Условие задачи:

Точка C лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость α, а через точки B и C — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках B1 и C1. Найдите длину отрезка CC1, если:

а) точка C — середина отрезка AB и BB1 = 7 см;

б) AC : CB = 3:2 и BB1 = 20 см.

Геометрическое обоснование (перед расчётами):

Чертеж к задаче 18 по геометрии 10 класс Атанасян параллельные отрезки BB1 и CC1

  1. Две параллельные прямые BB1 и CC1 задают единственную плоскость β.
  2. Точки B и C лежат в плоскости β, значит, и вся прямая AB лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что точка A также принадлежит плоскости β.
  3. Точки A, B1, C1 одновременно принадлежат плоскости α (по условию) и плоскости β. Значит, они лежат на прямой пересечения этих плоскостей, то есть точки A, C1, B1 лежат на одной прямой.
  4. В плоскости β рассмотрим треугольники ∆ACC1 и ∆ABB1. Поскольку прямые CC1 и BB1 параллельны, то углы ∠ACC1 = ∠ABB1 (как соответственные), а угол ∠A — общий.
  5. Из этого следует, что ∆ACC1 ∼ ∆ABB1 (по двум углам). Из подобия треугольников запишем пропорцию отношений сторон:

Решение подпунктов задачи:

а) Если C — середина отрезка AB и BB1 = 7 см

• Так как C — середина отрезка AB, то отрезок AC составляет ровно половину от всего отрезка AB. То есть отношение сторон равно:

• Используя пропорцию подобия, подставим известное значение BB1 = 7 см:

б) Если AC: CB = 3:2 и BB1 = 20 см

• Пусть одна часть отрезка равна x. Тогда длина отрезка AC = 3x, а длина отрезка CB = 2x.

• Так как точка C лежит на отрезке AB, то вся длина отрезка AB = AC + CB = 3x + 2x = 5x.

• Найдём отношение отрезков AC к AB:

• Подставим это отношение в формулу подобия треугольников при BB1 = 20 см:

Ответ к пункту б: 12 см

Решение 2:

Дано:

• Плоскость α.

• Отрезок AB, где точка A лежит в плоскости α (A ∈ α, а точка C лежит на отрезке AB (C ∈ AB).

• Прямые BB1 || CC1).

• Точки B1 ∈ α, C1 ∈ α.

Найти: Длину отрезка CC1, если:

  • а) C — середина отрезка AB, BB1 = 7 см;
  • б) AC : CB = 3 : 2, BB1 = 20 см.

Решение:

1. Обоснование геометрической модели (общее для пунктов а и б):

• Так как по условию прямые BB1 и CC1 параллельны (BB1 || CC1), через них можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость β.

• Прямая AB проходит через точки B и C. Так как эти точки лежат на параллельных прямых, вся прямая AB (и точка A) также принадлежит плоскости β.

• Плоскости α (данная) и β (вспомогательная) пересекаются по прямой AB1C1. Так как точки A, B1 и C1 лежат на линии пересечения этих плоскостей, они лежат на одной прямой.

• Рассмотрим треугольник ABB1. Отрезок CC1 || BB1, значит, треугольник ACC1 подобен треугольнику ABB1 (по двум углам: ∠A — общий, ∠ACC1 = ∠ABB1 как соответственные при параллельных прямых).

Вариант а)

Чертеж к задаче 18 по геометрии 10 класс Атанасян параллельные отрезки BB1 и CC1

Условие: C — середина AB, BB1 = 7 см.

• Так как C — середина AB, а CC1 || BB1, то по теореме Фалеса (или по определению средней линии) точка C1 будет серединой отрезка AB1.

• Следовательно, отрезок CC1 является средней линией треугольника ABB1.

• По свойству средней линии треугольника:

Ответ к пункту а): 3,5 см.

Вариант б)

Чертеж к задаче 18 по геометрии 10 класс Атанасян параллельные отрезки BB1 и CC1

Условие: AC : CB = 3 : 2, BB1 = 20 см.

• Из отношения AC : CB = 3 : 2 следует, что если отрезок AC равен 3x, то отрезок CB равен 2x.

• Тогда весь отрезок AB = AC + CB = 3x + 2x = 5x.

• Используя подобие треугольников ∆ACC1 ∼ ∆ABB1, составим пропорцию отношения сходственных сторон:

• Подставим известные значения:

• Находим CC1:

Ответ к пункту б): 12 см.

← Предыдущее задание 17 (стр. 13) → Следующее задание 19 (стр. 13)

  • 19
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 17

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №17 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В семнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна мы ищем периметр четырехугольника MNQP, вершины которого лежат на рёбрах пространственной фигуры (рис. 17). Несмотря на то что задача относится к стереометрии, её решение сводится к классическому свойству средних линий в треугольниках. 

Решение 1:

Условие задачи:

На рисунке 17 точки M, N, Q, P — середины отрезков DB, DC, AC, AB. Найдите периметр четырёхугольника MNQP, если AD = 12 см, BC = 14 см.

Решение задачи №17:

Чертеж к задаче 17 геометрия 10 класс Атанасян периметр четырехугольника MNQP

1. Находим стороны MN и QP:

  • Рассмотрим треугольник DBC. По условию, точки M и N — середины сторон DB и DC. Значит, отрезок MN является средней линией треугольника DBC. По свойству средней линии:

Найдите периметр четырёхугольника MNQP

  • Рассмотрим треугольник ABC. Точки P и Q — середины сторон AB и AC. Следовательно, отрезок QP — средняя линия треугольника ABC.

2. Находим стороны NQ и PM:

  • Рассмотрим треугольник ACD. Точки N и Q — середины сторон CD и CA. Значит, отрезок NQ — средняя линия треугольника ACD. По свойству средней линии:

  • Рассмотрим треугольник ABD. Точки M и P — середины сторон BD и BA. Следовательно, отрезок PM — средняя линия треугольника ABD.

3. Вычисляем периметр четырёхугольника MNQP:

Периметр любого четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон:

PMNQP = MN + NQ + QP + PM

PMNQP = 7 + 6 + 7 + 6 = 26 см

Дополнительное замечание (для отличников): Поскольку противоположные стороны четырёхугольника равны (MN = QP = 7 см, NQ = PM = 6 см), то искомый четырёхугольник MNQP является параллелограммом.

Ответ: 26 см.

Решение 2:

Дано:

Тетраэдр DABC.

M — середина отрезка DB.
N — середина отрезка DC.
Q — середина отрезка AC.
P — середина отрезка AB.
AD = 12 см, BC = 14 см.

Найти:

Периметр четырёхугольника MNQP (PMNQP).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник DBC:

Точки M и N — середины сторон DB и DC по условию.

Следовательно, отрезок MN является средней линией треугольника DBC.

средняя линия треугольника

2. Рассмотрим треугольник ABC:

Точки P и Q — середины сторон AB и AC по условию.

Следовательно, отрезок PQ является средней линией треугольника ABC.

3. Рассмотрим треугольник ABD:

Точки M и P — середины сторон DB и AB по условию.

Следовательно, отрезок MP является средней линией треугольника ABD.

4. Рассмотрим треугольник ACD:

Точки N и Q — середины сторон DC и по условию.

Следовательно, отрезок NQ является средней линией треугольника ACD.

5. Найдём периметр четырёхугольника MNQP:

PMNQP = MN + NQ + QP + PM

PMNQP = 7 + 6 + 7 + 6 = 26 см

Ответ: 26 см.

← Предыдущее задание 16 (стр. 13) → Следующее задание 18 (стр. 13)

  • 15
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 16

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №16 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В шестнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается взаимное расположение трёх прямых в пространстве. Нам необходимо доказать, что любая секущая прямая, пересекающая две параллельные прямые, находящиеся в плоскости α, сама неизбежно принадлежит этой плоскости. Доказательство опирается на фундаментальную аксиому А2.

Решение 1:

Условие задачи:

Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите, что прямая c, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости α.

Решение задачи №16:

Чертеж к задаче 16 геометрия 10 класс Атанасян параллельные прямые и прямая c

Пусть параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Прямая c пересекает прямую a в некоторой точке A, а прямую b — в точке B.

  1. Анализируем точку пересечения A:
    Поскольку прямая c пересекает прямую a в точке A, эта точка принадлежит прямой a (A ∈ a). Так как вся прямая a целиком лежит в плоскости α по условию, то и точка её пересечения A также лежит в плоскости α (A ∈ α).
  2. Анализируем точку пересечения B:
    Аналогично, прямая c пересекает прямую b в точке B, значит, эта точка принадлежит прямой b (B ∈ b). Поскольку вся прямая b находится в плоскости α, то и точка B также лежит в плоскости α (B ∈ α).
  3. Применяем аксиому А2:
    Мы выяснили, что у прямой c есть две фиксированные точки — A и B, которые гарантированно принадлежат плоскости α.
    Согласно аксиоме стереометрии А2: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Вывод: Поскольку точки A и B принадлежат плоскости α, то и вся прямая c целиком лежит в плоскости α.

Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Дано:

Прямые a и b параллельны (a || b) и лежат в плоскости α (a ⊂ α, b ⊂ α ).
Прямая c пересекает прямую a в точке A (c ∩ a = A) и прямую b в точке B (c ∩ b = B).

Доказать:
Прямая c лежит в плоскости α (c ⊂ α).

Доказательство:

  1. По условию задачи, прямая c пересекает прямую a в точке A. Поскольку вся прямая a принадлежит плоскости α, то и точка их пересечения принадлежит этой плоскости: A ∈ α.
  2. Аналогично, прямая c пересекает прямую b в точке B. Так как прямая b принадлежит плоскости α, то точка их пересечения также принадлежит этой плоскости: B ∈ α.
  3. Мы получили, что две различные точки A и B, принадлежащие прямой c, одновременно лежат в плоскости α.
  4. Согласно аксиоме стереометрии: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
  5. Следовательно, вся прямая c лежит в плоскости α.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 15 (стр. 8) → Следующее задание 17 (стр. 13)

  • 14
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 15

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №15 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Пятнадцатая задача учебника Л.С. Атанасяна — это серьёзное логическое упражнение. Формулировка «попарно пересекаются» означает, что любые две прямые из этого набора имеют общую точку. Нам нужно доказать, что такая конструкция либо плоская, либо образует «пучок» в пространстве.

Решение 1:

Условие задачи:

Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Решение задачи №15:

Чертеж к задаче 15 геометрия 10 класс Атанасян: два случая расположения прямых

Пусть даны три прямые \(a, b\) и \(c\), которые пересекаются попарно. Обозначим точки их пересечения:

  • a ∩ b = C
  • b ∩ c = A
  • a ∩ c = B

Возможны два варианта расположения этих точек:

Случай 1: Точки пересечения A, B и C — это три разные точки.

  1. Так как точки A, B, C не совпадают, они образуют треугольник. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость α (аксиома А1).
  2. Прямая a проходит через точки B и C. Поскольку эти две точки лежат в плоскости α, то и вся прямая a лежит в ней (аксиома А2).
  3. Аналогично, прямая b (через точки A и C) и прямая c (через точки A и B) также целиком лежат в плоскости α.

Вывод: В этом случае все три прямые лежат в одной плоскости.

Случай 2: Точки пересечения A, B и C совпадают в одной точке.

Чертеж к задаче 15 геометрия 10 класс Атанасян: два случая расположения прямых

  1. Если точка пересечения прямых a и b совпадает с точкой пересечения прямых b и c, то все три прямые проходят через одну и ту же точку (например, точку M).
  2. В этом случае прямые не обязательно лежат в одной плоскости — они могут образовывать «связку» (как оси координат в углу комнаты).

Вывод: В этом случае прямые имеют одну общую точку.

Общий вывод: Третьего не дано: либо прямые «разошлись» и создали плоскость, либо «сошлись» в одной точке. Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Условие:

Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Доказательство:

Обозначим прямые как a, b и c. По условию они пересекаются попарно. Рассмотрим две из них: прямые a и b. Пусть они пересекаются в точке M.

Согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые a и b проходит единственная плоскость α.

Рассмотрим два возможных случая для третьей прямой c:

1. Прямая c не проходит через точку M.

Чертеж к задаче 15 геометрия 10 класс Атанасян: два случая расположения прямых

  • Так как прямая c пересекает прямую a, обозначим точку их пересечения A. Точка A лежит в плоскости α (так как a ∩ α).
  • Так как прямая c пересекает прямую b, обозначим точку их пересечения B. Точка B также лежит в плоскости α (так как b ∩ α).
  • По аксиоме: если две точки прямой (A и B) лежат в плоскости α, то и вся прямая c целиком лежит в этой плоскости.
    Итог: Все три прямые лежат в одной плоскости.

2. Прямая c проходит через точку M.

Чертеж к задаче 15 геометрия 10 класс Атанасян: два случая расположения прямых

  • В этом случае прямая c пересекает и a, и b в одной и той же точке — M.
  • Тогда точка M является общей для всех трёх прямых. При этом прямые могут как лежать в одной плоскости, так и выходить из неё в разных направлениях.
    Итог: Прямые имеют общую точку.

← Предыдущее задание 14 (стр. 8) → Следующее задание 16 (стр. 13)

Older Posts

Поиск


Май 2026
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Апр    
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031

Архив

О нас

Помочь
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
Этот Сайт использует файлы cookies для сбора и хранения данных. Посещая Сайт, вы автоматически соглашаетесь с использованием данных технологий.

© Copyright, 2016. Enigma Theme | При копировании материала активная ссылка обязательна | Developed By Weblizar specially for Развивайка