Tag Archives: стереометрия

  • 30
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 23

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №22 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В двадцать третьем задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается пространственная конфигурация с участием прямоугольника и точки вне его плоскости. Нам необходимо доказать параллельность стороны прямоугольника и плоскости треугольника, образованного выносной точкой. Доказательство строится на базовом планиметрическом свойстве параллелограммов и признаке параллельности в стереометрии.

Решение 1:

Условие задачи:

Точка M не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости ABM.

Решение задачи №23 (Доказательство):

Чтобы доказать, что прямая параллельна плоскости, необходимо найти в этой плоскости другую прямую, которая будет параллельна исходной.

Чертеж к задаче 23 по геометрии 10 класс Атанасян прямая CD параллельна плоскости ABM

1. Свойство прямоугольника:

По определению, прямоугольник ABCD является параллелограммом, а значит, его противоположные стороны параллельны друг другу. Из этого следует:

CD || AB

2. Анализ плоскости ABM:

Прямая AB полностью принадлежит плоскости (ABM), так как точки A и B лежат в этой плоскости по условию построения треугольника ABM.

3. Применение признака параллельности прямой и плоскости:

В стереометрии действует теорема (признак параллельности): если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

  1. Прямая CD не принадлежит плоскости (ABM) (так как точка M вынесена за пределы плоскости прямоугольника).
  2. Прямая AB лежит в плоскости (ABM) (AB ⊂ ABM).
  3. Поскольку CD || AB, то по признаку параллельности:

CD || (ABM)

Вывод: Прямая CD параллельна плоскости ABM.

Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Дано:

• ABCD — прямоугольник.

• Точка M не лежит в плоскости прямоугольника (M ∉ (ABC)).

Доказать:

Прямая CD параллельна плоскости ABM (CD || (ABM)).

Доказательство:

Чертеж к задаче 23 по геометрии 10 класс Атанасян прямая CD параллельна плоскости ABM

  1. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. По условию задачи это прямоугольник. Одним из ключевых свойств любого прямоугольника является то, что его противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, прямая CD параллельна прямой AB (CD || AB).
  2. Прямая AB целиком лежит в плоскости ABM (AB ⊂ (ABM)), так как точки A и B определяют эту плоскость вместе с точкой M.
  3. Прямая CD не лежит в плоскости ABM (CD ∉ (ABM)), так как точка M по условию вынесена за пределы плоскости прямоугольника.
  4. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
  5. Поскольку CD || AB и AB ⊂ (ABM), то прямая CD параллельна плоскости ABM.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 22 (стр. 14) → Следующее задание 24 (стр. 14)

  • 26
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 20

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №20 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В двадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается взаимное расположение плоскости и прямых, содержащих основания трапеции, если её средняя линия уже зафиксирована в этой плоскости. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо вспомнить ключевые планиметрические свойства трапеции и применить лемму о параллельных прямых из стереометрии.

Решение 1:

Условие задачи:

Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие её основания, плоскость α? Ответ обоснуйте.

Решение задачи №20:

Ответ: НЕТ, НЕ ПЕРЕСЕКАЮТ.

Обоснование:

Чертеж к задаче 20 по геометрии 10 класс Атанасян средняя линия трапеции в плоскости альфа

Пусть даны трапеция ABCD (с основаниями AD и BC) и её средняя линия MN, которая целиком лежит в плоскости α (MN \subset α).

Параллельность прямых:

По свойству трапеции из курса планиметрии, её средняя линия параллельна основаниям. Таким образом, прямая AD || MN и прямая BC || MN.

Применение леммы о параллельных прямых:

В стереометрии существует лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Логический вывод:

Прямая MN лежит в плоскости α, следовательно, она не пересекает эту плоскость.

Так как основания AD и BC параллельны средней линии MN, то они также не могут пересекать плоскость α (иначе, согласно лемме, прямая MN тоже обязана была бы пересечь плоскость, что невозможно, так как она в ней лежит).

Итог: Каждая из прямых, содержащих основания трапеции (AD и BC), либо параллельна плоскости α, либо целиком лежит в ней. Ни одна из них плоскость не пересекает.

Решение 2:

Условие:

Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие её основания, плоскость α? Ответ обоснуйте.

Решение:

Пусть ABCD — данная трапеция с основаниями AD и BC, а MN — её средняя линия, которая целиком лежит в плоскости α (MN ⊂ α).

  1. По определению трапеции её основания параллельны между собой: AD || BC.
  2. По свойству средней линии трапеции отрезок MN параллелен обоим основаниям: MN || AD и MN || BC.
  3. Нам известно, что прямая MN лежит в плоскости α.
  4. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости (или леммой о параллельных прямых): если одна из двух параллельных прямых (MN) лежит в плоскости, то вторая прямая, параллельная ей, либо также лежит в этой плоскости, либо параллельна ей.
  5. Таким образом, прямые AD и BC не могут пересекать плоскость α. Они могут либо полностью лежать в плоскости α (если вся трапеция лежит в этой плоскости), либо быть строго параллельными плоскости α (если трапеция наклонена к ней или приподнята над ней).

Ответ: нет, не пересекают.

← Предыдущее задание 19 (стр. 13) → Следующее задание 21 (стр. 13)

  • 11
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 14

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №14 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Четырнадцатая задача учебника Л.С. Атанасяна рассматривает случай «пучка» из трёх прямых, выходящих из одной вершины. Нам нужно определить количество плоскостей, которые могут быть образованы парами этих прямых. Здесь возможны два сценария развития событий.

Решение 1:

Условие задачи:

Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?

Решение задачи №14:

Чертеж к задаче 14 геометрия 10 класс Атанасян три прямые и плоскости

Количество плоскостей зависит от того, лежат ли все три прямые в одной плоскости или нет.

Случай 1: Все три прямые лежат в одной плоскости.

Если прямые a, b и c изначально принадлежат одной и той же плоскости α, то любая пара этих прямых будет задавать одну и ту же плоскость.

  • Ответ: 1 плоскость.

Случай 2: Прямые не лежат в одной плоскости.

Чертеж к задаче 14 геометрия 10 класс Атанасян три прямые и плоскости

Если прямые не лежат в одной плоскости (образуют «треногу»), то каждая пара пересекающихся прямых задаёт свою уникальную плоскость. Обозначим прямые как a, b и c.

Мы можем составить следующие пары:

  1. Прямые a и b — образуют 1-ю плоскость.
  2. Прямые b и c — образуют 2-ю плоскость.
  3. Прямые a и c — образуют 3-ю плоскость.
  • Ответ: 3 плоскости.

Итоговый ответ: 1 или 3 плоскости.

Решение 2:

Условие:

Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?

Решение:

Чертеж к задаче 14 геометрия 10 класс Атанасян три прямые и плоскости

Пусть даны три прямые a, b и c, пересекающиеся в точке O. Рассмотрим два возможных случая:

1. Прямые не лежат в одной плоскости.

В этом случае каждые две прямые определяют свою уникальную плоскость (согласно следствию из аксиом: через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость).

  • Прямые a и b образуют плоскость α;
  • Прямые b и c образуют плоскость β;
  • Прямые a и c образуют плоскость γ.

Итого: 3 плоскости.

2. Все три прямые лежат в одной плоскости.

Чертеж к задаче 14 геометрия 10 класс Атанасян три прямые и плоскости

Если прямая c лежит в той же плоскости, что и пересекающиеся a и b, то любая пара этих прямых будет лежать в этой же плоскости. Новых плоскостей не образуется.

Итого: 1 плоскость.

Ответ: 1 или 3 плоскости.

← Предыдущее задание 13 (стр. 8) → Следующее задание 15 (стр. 8)

  • 25
    Апр 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 1

Tags : 

ГДЗ Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №1 — решение и объяснение

На этой странице представлено подробное решение задачи №1 из учебника по геометрии для 10-11 классов (автор Атанасян). Задание направлено на проверку знаний основных аксиом стереометрии: расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве. Ниже вы найдёте разбор всех четырёх пунктов (а, б, в, г) с опорой на рисунок 8.

Рисунок 8 к задаче 1 по геометрии 10 класс Атанасян

Рис. 8

Текст условия:
По рисунку 8 назовите:

  • а) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC;
  • б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой CE с плоскостью ADB;
  • в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC;
  • г) прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DCB, ABD и CDA, PDC и ABC.

Решение задачи №1:

Пункт а) Плоскости, в которых лежат прямые:

  • Прямая PE лежит в плоскости (ADB).
  • Прямая MK лежит в плоскости (DBC).
  • Прямая DB лежит в плоскостях (ADB) и (DBC).
  • Прямая AB лежит в плоскостях (ABC) и (ADB).
  • Прямая EC лежит в плоскостях (ABC) и (DBC).

Пункт б) Точки пересечения прямых с плоскостями:

  • Прямая DK пересекает плоскость (ABC) в точке C (так как точка C лежит на продолжении грани или является вершиной основания).

Примечание: Если судить строго по рисунку 8, точка K лежит на ребре DC, значит прямая DK совпадает с DC и пересекает плоскость основания в точке C.

  • Прямая CE пересекает плоскость (ADB) в точке E.

Пункт в) Точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC:

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти общую прямую (ребро), по которой пересекаются эти две плоскости.

  • Это точки, принадлежащие их общей линии пересечения — ребру DB.
  • Плоскости ADB (задняя левая грань) и DBC (задняя правая грань) пересекаются по прямой DB.
  • Следовательно, все точки, лежащие на этой прямой, принадлежат обеим плоскостям одновременно.

Ответ: точки D, B, P и M.

Пункт г) Прямые пересечения плоскостей: 

  • Плоскости ABC и DCB пересекаются по прямой BC.
  • Плоскости ABD и CDA пересекаются по прямой AD. 
  • Плоскости PDC и ABC пересекаются по прямой EC (так как точки E и C являются общими для этих плоскостей).

РЕШЕНИЕ 2

Условие задачи:

а) плоскости, в которых лежат прямые PE, MK, DB, AB, EC;

б) точки пересечения прямой DK с плоскостью ABC, прямой CE с плоскостью ADB;

в) точки, лежащие в плоскостях ADB и DBC;

г) прямые, по которым пересекаются плоскости ABC и DCB, ABD и CDA, PDC и ABC.

Задача 1 по геометрии 10 класс

Задача 1 пункт б точки пересечения

Задача 1 Геометрия 10 класс

Примечание:

Задача 1 в, геометрия 10

Задача 1 под буквой г

→ Следующее задание 2 (стр. 7-8)

Поиск


Июнь 2026
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Май    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930  

Архив

О нас

Помочь
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
Этот Сайт использует файлы cookies для сбора и хранения данных. Посещая Сайт, вы автоматически соглашаетесь с использованием данных технологий.

© Copyright, 2016. Enigma Theme | При копировании материала активная ссылка обязательна | Developed By Weblizar specially for Развивайка