ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 13
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №13 — подробное решение
В тринадцатой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы разбираем базовые свойства пересечения плоскостей. Ответы на эти вопросы напрямую вытекают из аксиом стереометрии, которые определяют структуру трёхмерного пространства.
Решение 1:
Условие задачи:
Могут ли две плоскости иметь:
- а) только одну общую точку;
- б) только две общие точки;
- в) только одну общую прямую?
Решение задачи №13:
а) Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?
Ответ: НЕТ.
Обоснование: Согласно аксиоме А3, если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Прямая содержит бесконечное множество точек, поэтому «только одной» точки быть не может.
б) Могут ли две плоскости иметь только две общие точки?
Ответ: НЕТ.
Обоснование: По той же аксиоме А3, наличие хотя бы одной общей точки гарантирует наличие целой общей прямой. А на любой прямой находится бесконечное количество точек. Следовательно, иметь ровно две общие точки плоскости не могут.
в) Могут ли две плоскости иметь только одну общую прямую?
Ответ: ДА.
Обоснование: Это классический случай пересечения двух плоскостей. Если плоскости не совпадают и не параллельны, то линия пересечения плоскостей — это единственная прямая. Все их общие точки будут лежать исключительно на этой прямой.
Решение 2:
Вопрос: Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?
Решение:
а) Нет, не могут.
Обоснование: Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. На прямой лежит бесконечное множество точек, поэтому одна-единственная точка у пересекающихся плоскостей быть не может.
б) Нет, не могут.
Обоснование: Это утверждение противоречит той же аксиоме. Если у плоскостей есть две общие точки, то через них можно провести прямую. Согласно другой аксиоме, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Таким образом, все точки этой прямой будут общими для обеих плоскостей.
в) Да, могут.
Обоснование: Это стандартный случай пересечения двух плоскостей. Если две плоскости не параллельны и не совпадают, они пересекаются по одной прямой (и только по одной). Все их общие точки будут принадлежать этой прямой.
Ответ: а) нет; б) нет; в) да.
← Предыдущее задание 12 (стр. 8) → Следующее задание 14 (стр. 8)
