Tag Archives: Атанасян 10-11 класс ГДЗ

  • 30
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 23

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №22 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В двадцать третьем задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается пространственная конфигурация с участием прямоугольника и точки вне его плоскости. Нам необходимо доказать параллельность стороны прямоугольника и плоскости треугольника, образованного выносной точкой. Доказательство строится на базовом планиметрическом свойстве параллелограммов и признаке параллельности в стереометрии.

Решение 1:

Условие задачи:

Точка M не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости ABM.

Решение задачи №23 (Доказательство):

Чтобы доказать, что прямая параллельна плоскости, необходимо найти в этой плоскости другую прямую, которая будет параллельна исходной.

Чертеж к задаче 23 по геометрии 10 класс Атанасян прямая CD параллельна плоскости ABM

1. Свойство прямоугольника:

По определению, прямоугольник ABCD является параллелограммом, а значит, его противоположные стороны параллельны друг другу. Из этого следует:

CD || AB

2. Анализ плоскости ABM:

Прямая AB полностью принадлежит плоскости (ABM), так как точки A и B лежат в этой плоскости по условию построения треугольника ABM.

3. Применение признака параллельности прямой и плоскости:

В стереометрии действует теорема (признак параллельности): если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

  1. Прямая CD не принадлежит плоскости (ABM) (так как точка M вынесена за пределы плоскости прямоугольника).
  2. Прямая AB лежит в плоскости (ABM) (AB ⊂ ABM).
  3. Поскольку CD || AB, то по признаку параллельности:

CD || (ABM)

Вывод: Прямая CD параллельна плоскости ABM.

Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Дано:

• ABCD — прямоугольник.

• Точка M не лежит в плоскости прямоугольника (M ∉ (ABC)).

Доказать:

Прямая CD параллельна плоскости ABM (CD || (ABM)).

Доказательство:

Чертеж к задаче 23 по геометрии 10 класс Атанасян прямая CD параллельна плоскости ABM

  1. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. По условию задачи это прямоугольник. Одним из ключевых свойств любого прямоугольника является то, что его противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, прямая CD параллельна прямой AB (CD || AB).
  2. Прямая AB целиком лежит в плоскости ABM (AB ⊂ (ABM)), так как точки A и B определяют эту плоскость вместе с точкой M.
  3. Прямая CD не лежит в плоскости ABM (CD ∉ (ABM)), так как точка M по условию вынесена за пределы плоскости прямоугольника.
  4. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
  5. Поскольку CD || AB и AB ⊂ (ABM), то прямая CD параллельна плоскости ABM.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 22 (стр. 14) → Следующее задание 24 (стр. 14)

  • 27
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 22

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №22 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В двадцать втором задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается классическая задача на доказательство параллельности прямой и плоскости. Для её решения мы объединим пространственные свойства стереометрии с планиметрическим свойством средней линии треугольника.

Решение 1:

Условие задачи:

Точки A и B лежат в плоскости α, а точка C не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости α.

Решение задачи №22 (Доказательство):

Чертеж к задаче 22 по геометрии 10 класс Атанасян прямая через середины отрезков параллельна плоскости

Пусть M — середина отрезка AC, а N — середина отрезка BC. Нам необходимо доказать, что прямая MN параллельна плоскости α (MN || α).

1. Рассмотрим треугольник ABC:

Точки A, B и C не лежат на одной прямой (так как A и B лежат в плоскости α, а C — вне её). Следовательно, они образуют треугольник ABC.

2. Свойство средней линии:

Отрезок MN соединяет середины сторон AC и BC треугольника ABC. По определению и свойству из планиметрии, MN является средней линией треугольника ABC. Следовательно, прямая MN параллельна стороне AB:

MN || AB

3. Применим признак параллельности прямой и плоскости:

В стереометрии действует теорема: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

  1. Прямая AB целиком лежит в плоскости α по условию (так как обе её точки A и B принадлежат α.
  2. Прямая MN не лежит в плоскости α (поскольку её точки M и N являются серединами отрезков, уходящих к точке C, находящейся вне плоскости).
  3. Поскольку MN || AB и AB ⊂ α, то по признаку параллельности:

MN || α

Вывод: Прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости α.

Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Дано:

• Точки A ∈ α, B ∈ α (лежат в плоскости α).

• Точка C ∉ α (не лежит в плоскости α).

• Точка M — середина отрезка AC.

• Точка N — середина отрезка BC.

Доказать:

Прямая MN параллельна плоскости α (MN || α).

Доказательство:

  1. Рассмотрим прямую AB. Так как обе точки A и B лежат в плоскости α, то по аксиоме стереометрии вся прямая AB целиком принадлежит этой плоскости (AB ⊂ α).
  2. Рассмотрим треугольник ABC. По условию, точки M и N являются серединами его сторон AC и BC. Значит, отрезок MN — это средняя линия треугольника ABC.
  3. По свойству средней линии треугольника, она параллельна его основанию: MN || AB.
  4. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости (MN ∉α), параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости (AB ⊂ α), то она параллельна самой плоскости.
  5. Поскольку MN || AB и AB ⊂ α), то прямая MN || α.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 21 (стр. 13) → Следующее задание 23 (стр. 14)

  • 26
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 21

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №21 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В двадцать первом задании учебника Л.С. Атанасяна исследуется взаимное расположение прямой и двух пересекающихся плоскостей, заданных треугольниками ABC и ABD. Для успешного доказательства нам необходимо определить, как отрезок CD расположен относительно этих плоскостей, а затем применить фундаментальную теорему стереометрии о параллельных прямых.

Решение 1:

Условие задачи:

Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.

Решение задачи №21 (Доказательство):

Чертеж к задаче 21 по геометрии 10 класс Атанасян прямая параллельная CD

Обозначим плоскость треугольника ABC как α, а плоскость треугольника ABD как β. По условию эти треугольники имеют общее основание — отрезок AB. Так как плоскости не совпадают, отрезок AB является линией пересечения плоскостей α и β.

Шаг 1: Докажем, что отрезок CD пересекает обе плоскости

  1. Рассмотрим плоскость α (треугольник ABC). Точка C лежит в этой плоскости по определению. Точка D является вершиной треугольника ABD и не лежит в плоскости α (иначе все четыре точки A, B, C, D лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию).
  2. Поскольку один конец отрезка (C) лежит в плоскости α, а второй конец (D) не лежит в ней, то прямая CD пересекает плоскость α в точке C.
  3. Аналогично рассмотрим плоскость β (треугольник ABD). Точка D лежит в ней, а точка C — нет. Следовательно, прямая CD пересекает плоскость β в точке D.

Шаг 2: Применим теорему о параллельных прямых

В стереометрии действует важнейшая теорема: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Пусть дана произвольная прямая m, которая параллельна отрезку CD (m || CD).

  • Так как прямая CD пересекает плоскость α, а прямая m || CD), то прямая m также пересекает плоскость α.
  • Так как прямая CD пересекает плоскость β, а прямая (m || CD), то прямая m также пересекает плоскость β.

Вывод: Любая прямая, параллельная отрезку CD, гарантированно пересекает плоскости обоих треугольников.

Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Дано:

Δ ABC и Δ ABD не лежат в одной плоскости.

CD — отрезок, соединяющий их вершины.

Прямая m || CD.

Доказать:

Прямая m пересекает плоскость Δ ABC и плоскость Δ ABD.

Доказательство:

Чертеж к задаче 21 по геометрии 10 класс Атанасян прямая параллельная CD

Обозначим плоскость треугольника ABC как α, а плоскость треугольника ABD как β. Эти плоскости пересекаются по прямой AB, так как сторона AB является общей для обоих треугольников (α ∩ β = AB).

Рассмотрим отрезок CD. Точка C лежит в плоскости α, а точка D лежит в плоскости β. Так как треугольники не лежат в одной плоскости, прямая CD пересекает плоскость α в точке C, а плоскость β — в точке D.

По условию задачи, прямая m параллельна прямой CD (m || CD).

Используем теорему о параллельных прямых: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Так как прямая CD пересекает плоскость α (в точке C), то параллельная ей прямая m также пересекает плоскость α.

Аналогично, так как прямая CD пересекает плоскость β (в точке D), то параллельная ей прямая m также пересекает плоскость β.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 20 (стр. 13) → Следующее задание 22 (стр. 13)

  • 26
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 20

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №20 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В двадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается взаимное расположение плоскости и прямых, содержащих основания трапеции, если её средняя линия уже зафиксирована в этой плоскости. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо вспомнить ключевые планиметрические свойства трапеции и применить лемму о параллельных прямых из стереометрии.

Решение 1:

Условие задачи:

Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие её основания, плоскость α? Ответ обоснуйте.

Решение задачи №20:

Ответ: НЕТ, НЕ ПЕРЕСЕКАЮТ.

Обоснование:

Чертеж к задаче 20 по геометрии 10 класс Атанасян средняя линия трапеции в плоскости альфа

Пусть даны трапеция ABCD (с основаниями AD и BC) и её средняя линия MN, которая целиком лежит в плоскости α (MN \subset α).

Параллельность прямых:

По свойству трапеции из курса планиметрии, её средняя линия параллельна основаниям. Таким образом, прямая AD || MN и прямая BC || MN.

Применение леммы о параллельных прямых:

В стереометрии существует лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Логический вывод:

Прямая MN лежит в плоскости α, следовательно, она не пересекает эту плоскость.

Так как основания AD и BC параллельны средней линии MN, то они также не могут пересекать плоскость α (иначе, согласно лемме, прямая MN тоже обязана была бы пересечь плоскость, что невозможно, так как она в ней лежит).

Итог: Каждая из прямых, содержащих основания трапеции (AD и BC), либо параллельна плоскости α, либо целиком лежит в ней. Ни одна из них плоскость не пересекает.

Решение 2:

Условие:

Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие её основания, плоскость α? Ответ обоснуйте.

Решение:

Пусть ABCD — данная трапеция с основаниями AD и BC, а MN — её средняя линия, которая целиком лежит в плоскости α (MN ⊂ α).

  1. По определению трапеции её основания параллельны между собой: AD || BC.
  2. По свойству средней линии трапеции отрезок MN параллелен обоим основаниям: MN || AD и MN || BC.
  3. Нам известно, что прямая MN лежит в плоскости α.
  4. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости (или леммой о параллельных прямых): если одна из двух параллельных прямых (MN) лежит в плоскости, то вторая прямая, параллельная ей, либо также лежит в этой плоскости, либо параллельна ей.
  5. Таким образом, прямые AD и BC не могут пересекать плоскость α. Они могут либо полностью лежать в плоскости α (если вся трапеция лежит в этой плоскости), либо быть строго параллельными плоскости α (если трапеция наклонена к ней или приподнята над ней).

Ответ: нет, не пересекают.

← Предыдущее задание 19 (стр. 13) → Следующее задание 21 (стр. 13)

  • 24
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 19

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №19 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В девятнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна исследуются свойства параллельных прямых при их взаимодействии с плоскостью. Нам дано, что две смежные стороны параллелограмма пересекают плоскость α. Необходимо доказать, что противоположные им стороны также будут её пересекать. Доказательство строится на фундаментальной теореме о связи параллельных прямых и плоскости.

Решение 1:

Условие задачи:

Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α.

Решение задачи №19 (Доказательство):

Чертеж к задаче 19 по геометрии 10 класс Атанасян стороны параллелограмма пересекают плоскость

Для доказательства воспользуемся важным утверждением стереометрии: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

1. Рассмотрим пару сторон AB и CD:

  1. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть прямая AB || DC.
  2. По условию задачи, прямая AB пересекает плоскость α.
  3. Так как AB || DC и AB пересекает плоскость α, то по теореме параллельная ей прямая DC также пересекает плоскость α.

2. Рассмотрим пару сторон BC и AD:

  1. Аналогично, противоположные стороны BC и AD параллельны друг другу, то есть прямая BC || AD.
  2. По условию задачи, прямая BC пересекает плоскость α.
  3. Так как BC || AD и BC пересекает плоскость α, то по теореме параллельная ей прямая AD также пересекает плоскость α.

Вывод: Обе прямые (AD и DC) гарантированно пересекают плоскость α.

Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Дано:

• ABCD — параллелограмм.

• Прямая AB пересекает плоскость α (AB ∩ α).

• Прямая BC пересекает плоскость α (BC ∩ α).

Доказать:

• Прямая AD пересекает плоскость α (AD ∩ α).

• Прямая DC пересекает плоскость α (DC ∩ α).

Доказательство:

Чертеж к задаче 19 по геометрии 10 класс Атанасян стороны параллелограмма пересекают плоскость

Вспомним важное свойство параллелограмма: его противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, AB || CD и BC || AD.

1. Докажем пересечение для прямой AD:

  1. По условию задачи, прямая BC пересекает плоскость α.
  2. Так как ABCD — параллелограмм, сторона AD параллельна стороне BC (AD || BC).
  3. Используем теорему о пересечении плоскости параллельными прямыми: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
  4. Поскольку BC пересекает плоскость α и (AD || BC), то прямая AD также пересекает плоскость α.

2. Докажем пересечение для прямой DC:

  1. По условию задачи, прямая AB пересекает плоскость α.
  2. В параллелограмме сторона DC параллельна стороне AB (DC || AB).
  3. Применяя ту же теорему, получаем: так как AB пересекает плоскость α и DC || AB, то прямая DC гарантированно пересекает плоскость α.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 18 (стр. 13) → Следующее задание 20 (стр. 13)

←Older posts

Поиск


Июнь 2026
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Май    
1234567
891011121314
15161718192021
22232425262728
2930  

Архив

О нас

Помочь
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
Этот Сайт использует файлы cookies для сбора и хранения данных. Посещая Сайт, вы автоматически соглашаетесь с использованием данных технологий.

© Copyright, 2016. Enigma Theme | При копировании материала активная ссылка обязательна | Developed By Weblizar specially for Развивайка