Tag Archives: Атанасян 10-11 класс ГДЗ

  • 27
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 22

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №22 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В двадцать втором задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается классическая задача на доказательство параллельности прямой и плоскости. Для её решения мы объединим пространственные свойства стереометрии с планиметрическим свойством средней линии треугольника.

Решение 1:

Условие задачи:

Точки A и B лежат в плоскости α, а точка C не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости α.

Решение задачи №22 (Доказательство):

Чертеж к задаче 22 по геометрии 10 класс Атанасян прямая через середины отрезков параллельна плоскости

Пусть M — середина отрезка AC, а N — середина отрезка BC. Нам необходимо доказать, что прямая MN параллельна плоскости α (MN || α).

1. Рассмотрим треугольник ABC:

Точки A, B и C не лежат на одной прямой (так как A и B лежат в плоскости α, а C — вне её). Следовательно, они образуют треугольник ABC.

2. Свойство средней линии:

Отрезок MN соединяет середины сторон AC и BC треугольника ABC. По определению и свойству из планиметрии, MN является средней линией треугольника ABC. Следовательно, прямая MN параллельна стороне AB:

MN || AB

3. Применим признак параллельности прямой и плоскости:

В стереометрии действует теорема: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

  1. Прямая AB целиком лежит в плоскости α по условию (так как обе её точки A и B принадлежат α.
  2. Прямая MN не лежит в плоскости α (поскольку её точки M и N являются серединами отрезков, уходящих к точке C, находящейся вне плоскости).
  3. Поскольку MN || AB и AB ⊂ α, то по признаку параллельности:

MN || α

Вывод: Прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости α.

Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Дано:

• Точки A ∈ α, B ∈ α (лежат в плоскости α).

• Точка C ∉ α (не лежит в плоскости α).

• Точка M — середина отрезка AC.

• Точка N — середина отрезка BC.

Доказать:

Прямая MN параллельна плоскости α (MN || α).

Доказательство:

  1. Рассмотрим прямую AB. Так как обе точки A и B лежат в плоскости α, то по аксиоме стереометрии вся прямая AB целиком принадлежит этой плоскости (AB ⊂ α).
  2. Рассмотрим треугольник ABC. По условию, точки M и N являются серединами его сторон AC и BC. Значит, отрезок MN — это средняя линия треугольника ABC.
  3. По свойству средней линии треугольника, она параллельна его основанию: MN || AB.
  4. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости (MN ∉α), параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости (AB ⊂ α), то она параллельна самой плоскости.
  5. Поскольку MN || AB и AB ⊂ α), то прямая MN || α.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 21 (стр. 13) → Следующее задание 23 (стр. 14)

  • 26
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 21

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №21 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В двадцать первом задании учебника Л.С. Атанасяна исследуется взаимное расположение прямой и двух пересекающихся плоскостей, заданных треугольниками ABC и ABD. Для успешного доказательства нам необходимо определить, как отрезок CD расположен относительно этих плоскостей, а затем применить фундаментальную теорему стереометрии о параллельных прямых.

Решение 1:

Условие задачи:

Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.

Решение задачи №21 (Доказательство):

Чертеж к задаче 21 по геометрии 10 класс Атанасян прямая параллельная CD

Обозначим плоскость треугольника ABC как α, а плоскость треугольника ABD как β. По условию эти треугольники имеют общее основание — отрезок AB. Так как плоскости не совпадают, отрезок AB является линией пересечения плоскостей α и β.

Шаг 1: Докажем, что отрезок CD пересекает обе плоскости

  1. Рассмотрим плоскость α (треугольник ABC). Точка C лежит в этой плоскости по определению. Точка D является вершиной треугольника ABD и не лежит в плоскости α (иначе все четыре точки A, B, C, D лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию).
  2. Поскольку один конец отрезка (C) лежит в плоскости α, а второй конец (D) не лежит в ней, то прямая CD пересекает плоскость α в точке C.
  3. Аналогично рассмотрим плоскость β (треугольник ABD). Точка D лежит в ней, а точка C — нет. Следовательно, прямая CD пересекает плоскость β в точке D.

Шаг 2: Применим теорему о параллельных прямых

В стереометрии действует важнейшая теорема: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Пусть дана произвольная прямая m, которая параллельна отрезку CD (m || CD).

  • Так как прямая CD пересекает плоскость α, а прямая m || CD), то прямая m также пересекает плоскость α.
  • Так как прямая CD пересекает плоскость β, а прямая (m || CD), то прямая m также пересекает плоскость β.

Вывод: Любая прямая, параллельная отрезку CD, гарантированно пересекает плоскости обоих треугольников.

Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Дано:

Δ ABC и Δ ABD не лежат в одной плоскости.

CD — отрезок, соединяющий их вершины.

Прямая m || CD.

Доказать:

Прямая m пересекает плоскость Δ ABC и плоскость Δ ABD.

Доказательство:

Чертеж к задаче 21 по геометрии 10 класс Атанасян прямая параллельная CD

Обозначим плоскость треугольника ABC как α, а плоскость треугольника ABD как β. Эти плоскости пересекаются по прямой AB, так как сторона AB является общей для обоих треугольников (α ∩ β = AB).

Рассмотрим отрезок CD. Точка C лежит в плоскости α, а точка D лежит в плоскости β. Так как треугольники не лежат в одной плоскости, прямая CD пересекает плоскость α в точке C, а плоскость β — в точке D.

По условию задачи, прямая m параллельна прямой CD (m || CD).

Используем теорему о параллельных прямых: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Так как прямая CD пересекает плоскость α (в точке C), то параллельная ей прямая m также пересекает плоскость α.

Аналогично, так как прямая CD пересекает плоскость β (в точке D), то параллельная ей прямая m также пересекает плоскость β.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 20 (стр. 13) → Следующее задание 22 (стр. 13)

  • 26
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 20

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №20 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В двадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается взаимное расположение плоскости и прямых, содержащих основания трапеции, если её средняя линия уже зафиксирована в этой плоскости. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо вспомнить ключевые планиметрические свойства трапеции и применить лемму о параллельных прямых из стереометрии.

Решение 1:

Условие задачи:

Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие её основания, плоскость α? Ответ обоснуйте.

Решение задачи №20:

Ответ: НЕТ, НЕ ПЕРЕСЕКАЮТ.

Обоснование:

Чертеж к задаче 20 по геометрии 10 класс Атанасян средняя линия трапеции в плоскости альфа

Пусть даны трапеция ABCD (с основаниями AD и BC) и её средняя линия MN, которая целиком лежит в плоскости α (MN \subset α).

Параллельность прямых:

По свойству трапеции из курса планиметрии, её средняя линия параллельна основаниям. Таким образом, прямая AD || MN и прямая BC || MN.

Применение леммы о параллельных прямых:

В стереометрии существует лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Логический вывод:

Прямая MN лежит в плоскости α, следовательно, она не пересекает эту плоскость.

Так как основания AD и BC параллельны средней линии MN, то они также не могут пересекать плоскость α (иначе, согласно лемме, прямая MN тоже обязана была бы пересечь плоскость, что невозможно, так как она в ней лежит).

Итог: Каждая из прямых, содержащих основания трапеции (AD и BC), либо параллельна плоскости α, либо целиком лежит в ней. Ни одна из них плоскость не пересекает.

Решение 2:

Условие:

Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие её основания, плоскость α? Ответ обоснуйте.

Решение:

Пусть ABCD — данная трапеция с основаниями AD и BC, а MN — её средняя линия, которая целиком лежит в плоскости α (MN ⊂ α).

  1. По определению трапеции её основания параллельны между собой: AD || BC.
  2. По свойству средней линии трапеции отрезок MN параллелен обоим основаниям: MN || AD и MN || BC.
  3. Нам известно, что прямая MN лежит в плоскости α.
  4. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости (или леммой о параллельных прямых): если одна из двух параллельных прямых (MN) лежит в плоскости, то вторая прямая, параллельная ей, либо также лежит в этой плоскости, либо параллельна ей.
  5. Таким образом, прямые AD и BC не могут пересекать плоскость α. Они могут либо полностью лежать в плоскости α (если вся трапеция лежит в этой плоскости), либо быть строго параллельными плоскости α (если трапеция наклонена к ней или приподнята над ней).

Ответ: нет, не пересекают.

← Предыдущее задание 19 (стр. 13) → Следующее задание 21 (стр. 13)

  • 24
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 19

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №19 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В девятнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна исследуются свойства параллельных прямых при их взаимодействии с плоскостью. Нам дано, что две смежные стороны параллелограмма пересекают плоскость α. Необходимо доказать, что противоположные им стороны также будут её пересекать. Доказательство строится на фундаментальной теореме о связи параллельных прямых и плоскости.

Решение 1:

Условие задачи:

Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α.

Решение задачи №19 (Доказательство):

Чертеж к задаче 19 по геометрии 10 класс Атанасян стороны параллелограмма пересекают плоскость

Для доказательства воспользуемся важным утверждением стереометрии: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

1. Рассмотрим пару сторон AB и CD:

  1. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть прямая AB || DC.
  2. По условию задачи, прямая AB пересекает плоскость α.
  3. Так как AB || DC и AB пересекает плоскость α, то по теореме параллельная ей прямая DC также пересекает плоскость α.

2. Рассмотрим пару сторон BC и AD:

  1. Аналогично, противоположные стороны BC и AD параллельны друг другу, то есть прямая BC || AD.
  2. По условию задачи, прямая BC пересекает плоскость α.
  3. Так как BC || AD и BC пересекает плоскость α, то по теореме параллельная ей прямая AD также пересекает плоскость α.

Вывод: Обе прямые (AD и DC) гарантированно пересекают плоскость α.

Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Дано:

• ABCD — параллелограмм.

• Прямая AB пересекает плоскость α (AB ∩ α).

• Прямая BC пересекает плоскость α (BC ∩ α).

Доказать:

• Прямая AD пересекает плоскость α (AD ∩ α).

• Прямая DC пересекает плоскость α (DC ∩ α).

Доказательство:

Чертеж к задаче 19 по геометрии 10 класс Атанасян стороны параллелограмма пересекают плоскость

Вспомним важное свойство параллелограмма: его противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, AB || CD и BC || AD.

1. Докажем пересечение для прямой AD:

  1. По условию задачи, прямая BC пересекает плоскость α.
  2. Так как ABCD — параллелограмм, сторона AD параллельна стороне BC (AD || BC).
  3. Используем теорему о пересечении плоскости параллельными прямыми: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
  4. Поскольку BC пересекает плоскость α и (AD || BC), то прямая AD также пересекает плоскость α.

2. Докажем пересечение для прямой DC:

  1. По условию задачи, прямая AB пересекает плоскость α.
  2. В параллелограмме сторона DC параллельна стороне AB (DC || AB).
  3. Применяя ту же теорему, получаем: так как AB пересекает плоскость α и DC || AB, то прямая DC гарантированно пересекает плоскость α.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 18 (стр. 13) → Следующее задание 20 (стр. 13)

  • 20
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 18

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №18 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В восемнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается классическая пространственная задача, связывающая параллельные прямые, отрезок и плоскость. Чтобы решить её, сначала необходимо доказать, что все ключевые точки лежат в одной плоскости, после чего решение сводится к подобию треугольников из курса планиметрии.

Решение 1:

Условие задачи:

Точка C лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость α, а через точки B и C — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках B1 и C1. Найдите длину отрезка CC1, если:

а) точка C — середина отрезка AB и BB1 = 7 см;

б) AC : CB = 3:2 и BB1 = 20 см.

Геометрическое обоснование (перед расчётами):

Чертеж к задаче 18 по геометрии 10 класс Атанасян параллельные отрезки BB1 и CC1

  1. Две параллельные прямые BB1 и CC1 задают единственную плоскость β.
  2. Точки B и C лежат в плоскости β, значит, и вся прямая AB лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что точка A также принадлежит плоскости β.
  3. Точки A, B1, C1 одновременно принадлежат плоскости α (по условию) и плоскости β. Значит, они лежат на прямой пересечения этих плоскостей, то есть точки A, C1, B1 лежат на одной прямой.
  4. В плоскости β рассмотрим треугольники ∆ACC1 и ∆ABB1. Поскольку прямые CC1 и BB1 параллельны, то углы ∠ACC1 = ∠ABB1 (как соответственные), а угол ∠A — общий.
  5. Из этого следует, что ∆ACC1 ∼ ∆ABB1 (по двум углам). Из подобия треугольников запишем пропорцию отношений сторон:

Решение подпунктов задачи:

а) Если C — середина отрезка AB и BB1 = 7 см

• Так как C — середина отрезка AB, то отрезок AC составляет ровно половину от всего отрезка AB. То есть отношение сторон равно:

• Используя пропорцию подобия, подставим известное значение BB1 = 7 см:

б) Если AC: CB = 3:2 и BB1 = 20 см

• Пусть одна часть отрезка равна x. Тогда длина отрезка AC = 3x, а длина отрезка CB = 2x.

• Так как точка C лежит на отрезке AB, то вся длина отрезка AB = AC + CB = 3x + 2x = 5x.

• Найдём отношение отрезков AC к AB:

• Подставим это отношение в формулу подобия треугольников при BB1 = 20 см:

Ответ к пункту б: 12 см

Решение 2:

Дано:

• Плоскость α.

• Отрезок AB, где точка A лежит в плоскости α (A ∈ α, а точка C лежит на отрезке AB (C ∈ AB).

• Прямые BB1 || CC1).

• Точки B1 ∈ α, C1 ∈ α.

Найти: Длину отрезка CC1, если:

  • а) C — середина отрезка AB, BB1 = 7 см;
  • б) AC : CB = 3 : 2, BB1 = 20 см.

Решение:

1. Обоснование геометрической модели (общее для пунктов а и б):

• Так как по условию прямые BB1 и CC1 параллельны (BB1 || CC1), через них можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость β.

• Прямая AB проходит через точки B и C. Так как эти точки лежат на параллельных прямых, вся прямая AB (и точка A) также принадлежит плоскости β.

• Плоскости α (данная) и β (вспомогательная) пересекаются по прямой AB1C1. Так как точки A, B1 и C1 лежат на линии пересечения этих плоскостей, они лежат на одной прямой.

• Рассмотрим треугольник ABB1. Отрезок CC1 || BB1, значит, треугольник ACC1 подобен треугольнику ABB1 (по двум углам: ∠A — общий, ∠ACC1 = ∠ABB1 как соответственные при параллельных прямых).

Вариант а)

Чертеж к задаче 18 по геометрии 10 класс Атанасян параллельные отрезки BB1 и CC1

Условие: C — середина AB, BB1 = 7 см.

• Так как C — середина AB, а CC1 || BB1, то по теореме Фалеса (или по определению средней линии) точка C1 будет серединой отрезка AB1.

• Следовательно, отрезок CC1 является средней линией треугольника ABB1.

• По свойству средней линии треугольника:

Ответ к пункту а): 3,5 см.

Вариант б)

Чертеж к задаче 18 по геометрии 10 класс Атанасян параллельные отрезки BB1 и CC1

Условие: AC : CB = 3 : 2, BB1 = 20 см.

• Из отношения AC : CB = 3 : 2 следует, что если отрезок AC равен 3x, то отрезок CB равен 2x.

• Тогда весь отрезок AB = AC + CB = 3x + 2x = 5x.

• Используя подобие треугольников ∆ACC1 ∼ ∆ABB1, составим пропорцию отношения сходственных сторон:

• Подставим известные значения:

• Находим CC1:

Ответ к пункту б): 12 см.

← Предыдущее задание 17 (стр. 13) → Следующее задание 19 (стр. 13)

←Older posts

Поиск


Май 2026
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Апр    
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031

Архив

О нас

Помочь
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
Этот Сайт использует файлы cookies для сбора и хранения данных. Посещая Сайт, вы автоматически соглашаетесь с использованием данных технологий.

© Copyright, 2016. Enigma Theme | При копировании материала активная ссылка обязательна | Developed By Weblizar specially for Развивайка