ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 19
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №19 — подробное решение
В девятнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна исследуются свойства параллельных прямых при их взаимодействии с плоскостью. Нам дано, что две смежные стороны параллелограмма пересекают плоскость α. Необходимо доказать, что противоположные им стороны также будут её пересекать. Доказательство строится на фундаментальной теореме о связи параллельных прямых и плоскости.
Решение 1:
Условие задачи:
Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α.
Решение задачи №19 (Доказательство):
Для доказательства воспользуемся важным утверждением стереометрии: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
1. Рассмотрим пару сторон AB и CD:
- По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть прямая AB || DC.
- По условию задачи, прямая AB пересекает плоскость α.
- Так как AB || DC и AB пересекает плоскость α, то по теореме параллельная ей прямая DC также пересекает плоскость α.
2. Рассмотрим пару сторон BC и AD:
- Аналогично, противоположные стороны BC и AD параллельны друг другу, то есть прямая BC || AD.
- По условию задачи, прямая BC пересекает плоскость α.
- Так как BC || AD и BC пересекает плоскость α, то по теореме параллельная ей прямая AD также пересекает плоскость α.
Вывод: Обе прямые (AD и DC) гарантированно пересекают плоскость α.
Что и требовалось доказать.
Решение 2:
Дано:
• ABCD — параллелограмм.
• Прямая AB пересекает плоскость α (AB ∩ α).
• Прямая BC пересекает плоскость α (BC ∩ α).
Доказать:
• Прямая AD пересекает плоскость α (AD ∩ α).
• Прямая DC пересекает плоскость α (DC ∩ α).
Доказательство:
Вспомним важное свойство параллелограмма: его противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, AB || CD и BC || AD.
1. Докажем пересечение для прямой AD:
- По условию задачи, прямая BC пересекает плоскость α.
- Так как ABCD — параллелограмм, сторона AD параллельна стороне BC (AD || BC).
- Используем теорему о пересечении плоскости параллельными прямыми: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
- Поскольку BC пересекает плоскость α и (AD || BC), то прямая AD также пересекает плоскость α.
2. Докажем пересечение для прямой DC:
- По условию задачи, прямая AB пересекает плоскость α.
- В параллелограмме сторона DC параллельна стороне AB (DC || AB).
- Применяя ту же теорему, получаем: так как AB пересекает плоскость α и DC || AB, то прямая DC гарантированно пересекает плоскость α.
Что и требовалось доказать.
← Предыдущее задание 18 (стр. 13) → Следующее задание 20 (стр. 13)
