ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 19

Tags : Атанасян 10-11 класс ГДЗ геометрия 10 класс задача 19 доказательство стереометрия параллелограмм пересекает плоскость прямые AD и DC пересекают плоскость

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №19 — подробное решение

Все задачи учебника

В девятнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна исследуются свойства параллельных прямых при их взаимодействии с плоскостью. Нам дано, что две смежные стороны параллелограмма пересекают плоскость α. Необходимо доказать, что противоположные им стороны также будут её пересекать. Доказательство строится на фундаментальной теореме о связи параллельных прямых и плоскости.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α.

Решение задачи №19 (Доказательство):

Для доказательства воспользуемся важным утверждением стереометрии: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

1. Рассмотрим пару сторон AB и CD:

1. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть прямая AB || DC.
   
2. По условию задачи, прямая AB пересекает плоскость α.
   
3. Так как AB || DC и AB пересекает плоскость α, то по теореме параллельная ей прямая DC также пересекает плоскость α.
   

2. Рассмотрим пару сторон BC и AD:

1. Аналогично, противоположные стороны BC и AD параллельны друг другу, то есть прямая BC || AD.
   
2. По условию задачи, прямая BC пересекает плоскость α.
   
3. Так как BC || AD и BC пересекает плоскость α, то по теореме параллельная ей прямая AD также пересекает плоскость α.
   

Вывод: Обе прямые (AD и DC) гарантированно пересекают плоскость α.

Что и требовалось доказать.

---

Решение 2:

Дано:

• ABCD — параллелограмм.

• Прямая AB пересекает плоскость α (AB ∩ α).

• Прямая BC пересекает плоскость α (BC ∩ α).

Доказать:

• Прямая AD пересекает плоскость α (AD ∩ α).

• Прямая DC пересекает плоскость α (DC ∩ α).

Доказательство:

Вспомним важное свойство параллелограмма: его противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, AB || CD и BC || AD.

1. Докажем пересечение для прямой AD:

1. По условию задачи, прямая BC пересекает плоскость α.
   
2. Так как ABCD — параллелограмм, сторона AD параллельна стороне BC (AD || BC).
   
3. Используем теорему о пересечении плоскости параллельными прямыми: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
   
4. Поскольку BC пересекает плоскость α и (AD || BC), то прямая AD также пересекает плоскость α.
   

2. Докажем пересечение для прямой DC:

1. По условию задачи, прямая AB пересекает плоскость α.
   
2. В параллелограмме сторона DC параллельна стороне AB (DC || AB).
   
3. Применяя ту же теорему, получаем: так как AB пересекает плоскость α и DC || AB, то прямая DC гарантированно пересекает плоскость α.
   

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 18 (стр. 13) → Следующее задание 20 (стр. 13)