ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 22

Tags : Атанасян 10-11 класс ГДЗ геометрия 10 класс задача 22 признак параллельности прямой и плоскости средняя линия треугольника параллельна плоскости

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №22 — подробное решение

Все задачи учебника

В двадцать втором задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается классическая задача на доказательство параллельности прямой и плоскости. Для её решения мы объединим пространственные свойства стереометрии с планиметрическим свойством средней линии треугольника.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Точки A и B лежат в плоскости α, а точка C не лежит в этой плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости α.

Решение задачи №22 (Доказательство):

Пусть M — середина отрезка AC, а N — середина отрезка BC. Нам необходимо доказать, что прямая MN параллельна плоскости α (MN || α).

1. Рассмотрим треугольник ABC:

Точки A, B и C не лежат на одной прямой (так как A и B лежат в плоскости α, а C — вне её). Следовательно, они образуют треугольник ABC.

2. Свойство средней линии:

Отрезок MN соединяет середины сторон AC и BC треугольника ABC. По определению и свойству из планиметрии, MN является средней линией треугольника ABC. Следовательно, прямая MN параллельна стороне AB:

MN || AB

3. Применим признак параллельности прямой и плоскости:

В стереометрии действует теорема: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

1. Прямая AB целиком лежит в плоскости α по условию (так как обе её точки A и B принадлежат α.
   
2. Прямая MN не лежит в плоскости α (поскольку её точки M и N являются серединами отрезков, уходящих к точке C, находящейся вне плоскости).
   
3. Поскольку MN || AB и AB ⊂ α, то по признаку параллельности:
   

MN || α

Вывод: Прямая, проходящая через середины отрезков AC и BC, параллельна плоскости α.

Что и требовалось доказать.

---

Решение 2:

Дано:

• Точки A ∈ α, B ∈ α (лежат в плоскости α).

• Точка C ∉ α (не лежит в плоскости α).

• Точка M — середина отрезка AC.

• Точка N — середина отрезка BC.

Доказать:

Прямая MN параллельна плоскости α (MN || α).

Доказательство:

1. Рассмотрим прямую AB. Так как обе точки A и B лежат в плоскости α, то по аксиоме стереометрии вся прямая AB целиком принадлежит этой плоскости (AB ⊂ α).
   
2. Рассмотрим треугольник ABC. По условию, точки M и N являются серединами его сторон AC и BC. Значит, отрезок MN — это средняя линия треугольника ABC.
   
3. По свойству средней линии треугольника, она параллельна его основанию: MN || AB.
   
4. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в плоскости (MN ∉α), параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости (AB ⊂ α), то она параллельна самой плоскости.
   
5. Поскольку MN || AB и AB ⊂ α), то прямая MN || α.
   

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 21 (стр. 13) → Следующее задание 23 (стр. 14)