ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 21
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №21 — подробное решение
В двадцать первом задании учебника Л.С. Атанасяна исследуется взаимное расположение прямой и двух пересекающихся плоскостей, заданных треугольниками ABC и ABD. Для успешного доказательства нам необходимо определить, как отрезок CD расположен относительно этих плоскостей, а затем применить фундаментальную теорему стереометрии о параллельных прямых.
Решение 1:
Условие задачи:
Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.
Решение задачи №21 (Доказательство):
Обозначим плоскость треугольника ABC как α, а плоскость треугольника ABD как β. По условию эти треугольники имеют общее основание — отрезок AB. Так как плоскости не совпадают, отрезок AB является линией пересечения плоскостей α и β.
Шаг 1: Докажем, что отрезок CD пересекает обе плоскости
- Рассмотрим плоскость α (треугольник ABC). Точка C лежит в этой плоскости по определению. Точка D является вершиной треугольника ABD и не лежит в плоскости α (иначе все четыре точки A, B, C, D лежали бы в одной плоскости, что противоречит условию).
- Поскольку один конец отрезка (C) лежит в плоскости α, а второй конец (D) не лежит в ней, то прямая CD пересекает плоскость α в точке C.
- Аналогично рассмотрим плоскость β (треугольник ABD). Точка D лежит в ней, а точка C — нет. Следовательно, прямая CD пересекает плоскость β в точке D.
Шаг 2: Применим теорему о параллельных прямых
В стереометрии действует важнейшая теорема: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Пусть дана произвольная прямая m, которая параллельна отрезку CD (m || CD).
- Так как прямая CD пересекает плоскость α, а прямая m || CD), то прямая m также пересекает плоскость α.
- Так как прямая CD пересекает плоскость β, а прямая (m || CD), то прямая m также пересекает плоскость β.
Вывод: Любая прямая, параллельная отрезку CD, гарантированно пересекает плоскости обоих треугольников.
Что и требовалось доказать.
Решение 2:
Дано:
Δ ABC и Δ ABD не лежат в одной плоскости.
CD — отрезок, соединяющий их вершины.
Прямая m || CD.
Доказать:
Прямая m пересекает плоскость Δ ABC и плоскость Δ ABD.
Доказательство:
Обозначим плоскость треугольника ABC как α, а плоскость треугольника ABD как β. Эти плоскости пересекаются по прямой AB, так как сторона AB является общей для обоих треугольников (α ∩ β = AB).
Рассмотрим отрезок CD. Точка C лежит в плоскости α, а точка D лежит в плоскости β. Так как треугольники не лежат в одной плоскости, прямая CD пересекает плоскость α в точке C, а плоскость β — в точке D.
По условию задачи, прямая m параллельна прямой CD (m || CD).
Используем теорему о параллельных прямых: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Так как прямая CD пересекает плоскость α (в точке C), то параллельная ей прямая m также пересекает плоскость α.
Аналогично, так как прямая CD пересекает плоскость β (в точке D), то параллельная ей прямая m также пересекает плоскость β.
Что и требовалось доказать.
← Предыдущее задание 20 (стр. 13) → Следующее задание 22 (стр. 13)
