ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 23
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №22 — подробное решение
В двадцать третьем задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается пространственная конфигурация с участием прямоугольника и точки вне его плоскости. Нам необходимо доказать параллельность стороны прямоугольника и плоскости треугольника, образованного выносной точкой. Доказательство строится на базовом планиметрическом свойстве параллелограммов и признаке параллельности в стереометрии.
Решение 1:
Условие задачи:
Точка M не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости ABM.
Решение задачи №23 (Доказательство):
Чтобы доказать, что прямая параллельна плоскости, необходимо найти в этой плоскости другую прямую, которая будет параллельна исходной.
1. Свойство прямоугольника:
По определению, прямоугольник ABCD является параллелограммом, а значит, его противоположные стороны параллельны друг другу. Из этого следует:
CD || AB
2. Анализ плоскости ABM:
Прямая AB полностью принадлежит плоскости (ABM), так как точки A и B лежат в этой плоскости по условию построения треугольника ABM.
3. Применение признака параллельности прямой и плоскости:
В стереометрии действует теорема (признак параллельности): если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
- Прямая CD не принадлежит плоскости (ABM) (так как точка M вынесена за пределы плоскости прямоугольника).
- Прямая AB лежит в плоскости (ABM) (AB ⊂ ABM).
- Поскольку CD || AB, то по признаку параллельности:
CD || (ABM)
Вывод: Прямая CD параллельна плоскости ABM.
Что и требовалось доказать.
Решение 2:
Дано:
• ABCD — прямоугольник.
• Точка M не лежит в плоскости прямоугольника (M ∉ (ABC)).
Доказать:
Прямая CD параллельна плоскости ABM (CD || (ABM)).
Доказательство:
- Рассмотрим четырёхугольник ABCD. По условию задачи это прямоугольник. Одним из ключевых свойств любого прямоугольника является то, что его противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, прямая CD параллельна прямой AB (CD || AB).
- Прямая AB целиком лежит в плоскости ABM (AB ⊂ (ABM)), так как точки A и B определяют эту плоскость вместе с точкой M.
- Прямая CD не лежит в плоскости ABM (CD ∉ (ABM)), так как точка M по условию вынесена за пределы плоскости прямоугольника.
- Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
- Поскольку CD || AB и AB ⊂ (ABM), то прямая CD параллельна плоскости ABM.
Что и требовалось доказать.
← Предыдущее задание 22 (стр. 14) → Следующее задание 24 (стр. 14)
