ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 12

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №12 — подробное решение

Все задачи учебника

В двенадцатой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы анализируем взаимное расположение двух плоскостей, построенных на вершинах тетраэдра. Ключом к решению является поиск общих точек, которые определяют линию пересечения плоскостей.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки A, B, C и A, B, D?

---

Решение задачи №12:

Ответ: ДА, ПЕРЕСЕКАЮТСЯ.

Обоснование:

1. Рассмотрим первую плоскость, проходящую через точки A, B и C. Обозначим её (ABC).
   
2. Рассмотрим вторую плоскость, проходящую через точки A, B и D. Обозначим её (ABD).
   
3. Заметим, что у этих двух плоскостей есть две общие точки — A и B.
   
4. Согласно аксиоме стереометрии (А3): если две плоскости имеют общие точки, то они имеют и общую прямую. В нашем случае прямой AB и является линия пересечения плоскостей (ABC) и (ABD).
   
5. Поскольку у наших плоскостей общими являются сразу две точки (A и B), то они пересекаются по прямой AB, которая принадлежит каждой из этих плоскостей.
   

Важное дополнение: Так как по условию точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, это гарантирует, что плоскости (ABC) и (ABD) не совпадают, а являются именно пересекающимися.

Ответ: Да. Плоскости пересекаются, так как у них есть общая сторона AB, которая по определению аксиом стереометрии представляет собой линию пересечения плоскостей.

---

Решение 2:

Дано:

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Плоскость α проходит через точки A, B, C.

Плоскость β проходит через точки A, B, D.

Решение:

• Рассмотрим плоскость α, проходящую через точки A, B и C, и плоскость β, проходящую через точки A, B и D.
  
• Заметим, что точки A и B являются общими для обеих плоскостей:
  

1. A ∈ α и A ∈ β;
   
2. B ∈ α и B ∈ β.
   

• Согласно аксиоме стереометрии: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
  
• Поскольку у плоскостей α и β есть две общие точки (A и B), то эти плоскости пересекаются по прямой AB.
  
• Плоскости не могут совпадать (быть одной и той же плоскостью), так как по условию точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости (точка D не принадлежит плоскости α).

Ответ: Да, они пересекаются по прямой AB.

← Предыдущее задание 11 (стр. 8) → Следующее задание 13 (стр. 8)