ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 3
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №3 — ответы и объяснения (Аксиомы)
В третьем задании учебника Л.С. Атанасяна рассматриваются фундаментальные свойства точек и плоскостей в пространстве. Понимание этих аксиом необходимо для решения любых задач стереометрии. Ниже мы разберём четыре утверждения и объясним, какие из них являются верными, а какие — нет.
Решение 1:
Условие задачи №3:
Верно ли, что:
- а) любые три точки лежат в одной плоскости;
- б) любые четыре точки лежат в одной плоскости;
- в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости;
- г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?
Ответы с пояснениями:
а) Любые три точки лежат в одной плоскости?
- Ответ: ДА, ВЕРНО.
- Объяснение: Согласно аксиоме стереометрии (А1), через любые три точки проходит плоскость. Если точки не лежат на одной прямой, плоскость единственная. Если лежат на одной прямой — через них можно провести бесконечно много плоскостей, но в любом случае они будут лежать в одной плоскости.
б) Любые четыре точки лежат в одной плоскости?
- Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.
- Объяснение: В пространстве существуют точки, не лежащие в одной плоскости. Например, вершины тетраэдра (треугольной пирамиды): три точки образуют основание, а четвёртая (вершина) находится вне этой плоскости.
в) Любые четыре точки не лежат в одной плоскости?
- Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.
- Объяснение: Это утверждение слишком категорично. Четыре точки могут лежать в одной плоскости (например, четыре вершины квадрата на листе бумаги), но не обязаны это делать.
г) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?
- Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.
- Объяснение: Здесь есть важный нюанс. Плоскость будет единственной только в том случае, если эти три точки не лежат на одной прямой. Если же три точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечное множество плоскостей (как страницы в книге через переплёт). Читайте также: [Разбор задачи №4 про точки A, B, C, D]
Решение 2:
а) Верно ли, что любые три точки лежат в одной плоскости?
- Ответ: Да, верно.
- Объяснение: Это одна из основных аксиом стереометрии. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Если же точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечное множество плоскостей. В любом случае, нет такой ситуации, когда три точки «не поместились» бы в одну плоскость.
б) Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?
- Ответ: Нет, неверно.
- Объяснение: В пространстве существует бесконечно много точек, не лежащих в одной плоскости. Четвёртая точка может находиться вне плоскости, образованной первыми тремя. Классический пример — вершины тетраэдра (треугольной пирамиды). Точки A, B, C лежат в основании, а вершина D находится над ними.
в) Верно ли, что любые четыре точки не лежат в одной плоскости?
- Ответ: Нет, неверно.
- Объяснение: Это утверждение — крайность, обратная пункту «б». Существует бесконечно много случаев, когда четыре точки могут лежать в одной плоскости (например, четыре вершины квадрата или любые четыре точки на поверхности стола).
г) Верно ли, что через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?
- Ответ: Нет, не всегда.
- Объяснение: Здесь есть важный нюанс. Плоскость будет единственной только в том случае, если эти три точки не лежат на одной прямой.
- Если точки образуют треугольник — плоскость одна.
- Если все три точки лежат на одной прямой — через них можно провести бесконечно много плоскостей (как страницы книги крепятся к одному переплету). Поэтому утверждение не является абсолютно верным для любых точек.
Подведем итог:
Из всех утверждений полностью верным и безусловным является только а.
← Предыдущее задание 2 (стр. 7-8) → Следующее задание 4 (стр. 8)
