ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 11

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №11 — подробное решение

Все задачи учебника

В одиннадцатой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы доказываем свойство «плоского пучка» прямых. Эта задача учит нас тому, как одна точка и одна прямая могут жёстко задать положение множества других прямых в пространстве.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

---

Решение задачи №11:

Пусть дана прямая a и точка M, не лежащая на этой прямой (M ∈ a).

1. Задаем плоскость:

Согласно следствию из аксиом стереометрии (или теореме), через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Назовём эту плоскость α.

Так как прямая a лежит в плоскости α, то все точки этой прямой также принадлежат α.

2. Рассмотрим произвольную прямую:

Возьмём любую прямую b, которая проходит через точку M и пересекает прямую a в некоторой точке K.

3. Применяем аксиому А2:

1. Точка M лежит в плоскости α (по построению плоскости).
   
2. Точка K также лежит в плоскости α (так как она является точкой прямой a, принадлежащей этой плоскости).
   
3. Следовательно, у прямой b есть две точки (M и K), лежащие в плоскости α.
   
4. Согласно аксиоме А2, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
   

Вывод: Любая прямая, проходящая через точку M и пересекающая прямую a, целиком лежит в плоскости α.

---

Решение 2:

Дано:

Прямая a и точка M, не лежащая на ней (M ∈ a).

Прямые b₁, b₂, b₃ ..., проходящие через точку M и пересекающие прямую a.

Доказать:

Все прямые b_n лежат в одной плоскости.

Доказательство:

1. Согласно следствию из аксиом стереометрии: через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость, и притом только одна.
   
2. Следовательно, прямая a и точка M однозначно определяют некоторую плоскость α.
   
3. Возьмём любую произвольную прямую b, которая проходит через точку M и пересекает прямую a в некоторой точке K.
   
4. Точка M принадлежит плоскости α (по построению плоскости).
   
5. Точка K принадлежит плоскости α, так как она лежит на прямой a, которая целиком принадлежит этой плоскости.
   
6. По аксиоме стереометрии: если две точки прямой (M и K) лежат в плоскости, то и вся прямая (b) лежит в этой плоскости.
   
7. Так как рассуждение верно для любой прямой, проходящей через M и пересекающей a, все такие прямые лежат в плоскости α.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 10 (стр. 8) → Следующее задание 12 (стр. 8)