ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 20
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №20 — подробное решение
В двадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается взаимное расположение плоскости и прямых, содержащих основания трапеции, если её средняя линия уже зафиксирована в этой плоскости. Чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо вспомнить ключевые планиметрические свойства трапеции и применить лемму о параллельных прямых из стереометрии.
Решение 1:
Условие задачи:
Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие её основания, плоскость α? Ответ обоснуйте.
Решение задачи №20:
Ответ: НЕТ, НЕ ПЕРЕСЕКАЮТ.
Обоснование:
Пусть даны трапеция ABCD (с основаниями AD и BC) и её средняя линия MN, которая целиком лежит в плоскости α (MN \subset α).
Параллельность прямых:
По свойству трапеции из курса планиметрии, её средняя линия параллельна основаниям. Таким образом, прямая AD || MN и прямая BC || MN.
Применение леммы о параллельных прямых:
В стереометрии существует лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Логический вывод:
Прямая MN лежит в плоскости α, следовательно, она не пересекает эту плоскость.
Так как основания AD и BC параллельны средней линии MN, то они также не могут пересекать плоскость α (иначе, согласно лемме, прямая MN тоже обязана была бы пересечь плоскость, что невозможно, так как она в ней лежит).
Итог: Каждая из прямых, содержащих основания трапеции (AD и BC), либо параллельна плоскости α, либо целиком лежит в ней. Ни одна из них плоскость не пересекает.
Решение 2:
Условие:
Средняя линия трапеции лежит в плоскости α. Пересекают ли прямые, содержащие её основания, плоскость α? Ответ обоснуйте.
Решение:
Пусть ABCD — данная трапеция с основаниями AD и BC, а MN — её средняя линия, которая целиком лежит в плоскости α (MN ⊂ α).
- По определению трапеции её основания параллельны между собой: AD || BC.
- По свойству средней линии трапеции отрезок MN параллелен обоим основаниям: MN || AD и MN || BC.
- Нам известно, что прямая MN лежит в плоскости α.
- Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости (или леммой о параллельных прямых): если одна из двух параллельных прямых (MN) лежит в плоскости, то вторая прямая, параллельная ей, либо также лежит в этой плоскости, либо параллельна ей.
- Таким образом, прямые AD и BC не могут пересекать плоскость α. Они могут либо полностью лежать в плоскости α (если вся трапеция лежит в этой плоскости), либо быть строго параллельными плоскости α (если трапеция наклонена к ней или приподнята над ней).
Ответ: нет, не пересекают.
← Предыдущее задание 19 (стр. 13) → Следующее задание 21 (стр. 13)
