ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 23

Tags : Атанасян 10-11 класс ГДЗ геометрия 10 класс задача 23 прямая CD параллельна плоскости ABM прямоугольник ABCD точка M стереометрия

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №22 — подробное решение

Все задачи учебника

В двадцать третьем задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается пространственная конфигурация с участием прямоугольника и точки вне его плоскости. Нам необходимо доказать параллельность стороны прямоугольника и плоскости треугольника, образованного выносной точкой. Доказательство строится на базовом планиметрическом свойстве параллелограммов и признаке параллельности в стереометрии.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Точка M не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что прямая CD параллельна плоскости ABM.

Решение задачи №23 (Доказательство):

Чтобы доказать, что прямая параллельна плоскости, необходимо найти в этой плоскости другую прямую, которая будет параллельна исходной.

1. Свойство прямоугольника:

По определению, прямоугольник ABCD является параллелограммом, а значит, его противоположные стороны параллельны друг другу. Из этого следует:

CD || AB

2. Анализ плоскости ABM:

Прямая AB полностью принадлежит плоскости (ABM), так как точки A и B лежат в этой плоскости по условию построения треугольника ABM.

3. Применение признака параллельности прямой и плоскости:

В стереометрии действует теорема (признак параллельности): если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.

1. Прямая CD не принадлежит плоскости (ABM) (так как точка M вынесена за пределы плоскости прямоугольника).
   
2. Прямая AB лежит в плоскости (ABM) (AB ⊂ ABM).
   
3. Поскольку CD || AB, то по признаку параллельности:
   

CD || (ABM)

Вывод: Прямая CD параллельна плоскости ABM.

Что и требовалось доказать.

---

Решение 2:

Дано:

• ABCD — прямоугольник.

• Точка M не лежит в плоскости прямоугольника (M ∉ (ABC)).

Доказать:

Прямая CD параллельна плоскости ABM (CD || (ABM)).

Доказательство:

1. Рассмотрим четырёхугольник ABCD. По условию задачи это прямоугольник. Одним из ключевых свойств любого прямоугольника является то, что его противоположные стороны попарно параллельны. Следовательно, прямая CD параллельна прямой AB (CD || AB).
   
2. Прямая AB целиком лежит в плоскости ABM (AB ⊂ (ABM)), так как точки A и B определяют эту плоскость вместе с точкой M.
   
3. Прямая CD не лежит в плоскости ABM (CD ∉ (ABM)), так как точка M по условию вынесена за пределы плоскости прямоугольника.
   
4. Воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости: если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна самой плоскости.
   
5. Поскольку CD || AB и AB ⊂ (ABM), то прямая CD параллельна плоскости ABM.
   

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 22 (стр. 14) → Следующее задание 24 (стр. 14)