ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 18

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №18 — подробное решение

Все задачи учебника

В восемнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается классическая пространственная задача, связывающая параллельные прямые, отрезок и плоскость. Чтобы решить её, сначала необходимо доказать, что все ключевые точки лежат в одной плоскости, после чего решение сводится к подобию треугольников из курса планиметрии.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Точка C лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость α, а через точки B и C — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость соответственно в точках B₁ и C₁. Найдите длину отрезка CC₁, если:

а) точка C — середина отрезка AB и BB₁ = 7 см;

б) AC : CB = 3:2 и BB₁ = 20 см.

Геометрическое обоснование (перед расчётами):

1. Две параллельные прямые BB₁ и CC₁ задают единственную плоскость β.
   
2. Точки B и C лежат в плоскости β, значит, и вся прямая AB лежит в этой плоскости. Отсюда следует, что точка A также принадлежит плоскости β.
   
3. Точки A, B₁, C₁ одновременно принадлежат плоскости α (по условию) и плоскости β. Значит, они лежат на прямой пересечения этих плоскостей, то есть точки A, C₁, B₁ лежат на одной прямой.
   
4. В плоскости β рассмотрим треугольники ∆ACC₁ и ∆ABB₁. Поскольку прямые CC₁ и BB₁ параллельны, то углы ∠ACC₁ = ∠ABB₁ (как соответственные), а угол ∠A — общий.
5. Из этого следует, что ∆ACC₁ ∼ ∆ABB₁ (по двум углам). Из подобия треугольников запишем пропорцию отношений сторон:

Решение подпунктов задачи:

а) Если C — середина отрезка AB и BB₁ = 7 см

• Так как C — середина отрезка AB, то отрезок AC составляет ровно половину от всего отрезка AB. То есть отношение сторон равно:

• Используя пропорцию подобия, подставим известное значение BB₁ = 7 см:

б) Если AC: CB = 3:2 и BB₁ = 20 см

• Пусть одна часть отрезка равна x. Тогда длина отрезка AC = 3x, а длина отрезка CB = 2x.

• Так как точка C лежит на отрезке AB, то вся длина отрезка AB = AC + CB = 3x + 2x = 5x.

• Найдём отношение отрезков AC к AB:

• Подставим это отношение в формулу подобия треугольников при BB₁ = 20 см:

Ответ к пункту б: 12 см

---

Решение 2:

Дано:

• Плоскость α.

• Отрезок AB, где точка A лежит в плоскости α (A ∈ α, а точка C лежит на отрезке AB (C ∈ AB).

• Прямые BB₁ || CC₁).

• Точки B₁ ∈ α, C₁ ∈ α.

Найти:

Найти: Длину отрезка CC₁, если:

• а) C — середина отрезка AB, BB₁ = 7 см;
  
• б) AC : CB = 3 : 2, BB₁ = 20 см.

Решение:

1. Обоснование геометрической модели (общее для пунктов а и б):

• Так как по условию прямые BB₁ и CC₁ параллельны (BB₁ || CC₁), через них можно провести плоскость, и притом только одну. Обозначим эту плоскость β.

• Прямая AB проходит через точки B и C. Так как эти точки лежат на параллельных прямых, вся прямая AB (и точка A) также принадлежит плоскости β.

• Плоскости α (данная) и β (вспомогательная) пересекаются по прямой AB₁C₁. Так как точки A, B₁ и C₁ лежат на линии пересечения этих плоскостей, они лежат на одной прямой.

• Рассмотрим треугольник ABB₁. Отрезок CC₁ || BB₁, значит, треугольник ACC₁ подобен треугольнику ABB₁ (по двум углам: ∠A — общий, ∠ACC₁ = ∠ABB₁ как соответственные при параллельных прямых).

Вариант а)

Условие: C — середина AB, BB₁ = 7 см.

• Так как C — середина AB, а CC₁ || BB₁, то по теореме Фалеса (или по определению средней линии) точка C₁ будет серединой отрезка AB₁.

• Следовательно, отрезок CC₁ является средней линией треугольника ABB₁.

• По свойству средней линии треугольника:

Ответ к пункту а): 3,5 см.

Вариант б)

Условие: AC : CB = 3 : 2, BB₁ = 20 см.

• Из отношения AC : CB = 3 : 2 следует, что если отрезок AC равен 3x, то отрезок CB равен 2x.

• Тогда весь отрезок AB = AC + CB = 3x + 2x = 5x.

• Используя подобие треугольников ∆ACC₁ ∼ ∆ABB₁, составим пропорцию отношения сходственных сторон:

• Подставим известные значения:

• Находим CC₁:

Ответ к пункту б): 12 см.

← Предыдущее задание 17 (стр. 13) → Следующее задание 19 (стр. 13)