ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 16

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №16 — подробное решение

Все задачи учебника

В шестнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается взаимное расположение трёх прямых в пространстве. Нам необходимо доказать, что любая секущая прямая, пересекающая две параллельные прямые, находящиеся в плоскости α, сама неизбежно принадлежит этой плоскости. Доказательство опирается на фундаментальную аксиому А2.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите, что прямая c, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости α.

Решение задачи №16:

Пусть параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Прямая c пересекает прямую a в некоторой точке A, а прямую b — в точке B.

1. Анализируем точку пересечения A:
   Поскольку прямая c пересекает прямую a в точке A, эта точка принадлежит прямой a (A ∈ a). Так как вся прямая a целиком лежит в плоскости α по условию, то и точка её пересечения A также лежит в плоскости α (A ∈ α).
   
2. Анализируем точку пересечения B:
   Аналогично, прямая c пересекает прямую b в точке B, значит, эта точка принадлежит прямой b (B ∈ b). Поскольку вся прямая b находится в плоскости α, то и точка B также лежит в плоскости α (B ∈ α).
   
3. Применяем аксиому А2:
   Мы выяснили, что у прямой c есть две фиксированные точки — A и B, которые гарантированно принадлежат плоскости α.
   Согласно аксиоме стереометрии А2: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
   

Вывод: Поскольку точки A и B принадлежат плоскости α, то и вся прямая c целиком лежит в плоскости α.

Что и требовалось доказать.

---

Решение 2:

Дано:

Прямые a и b параллельны (a || b) и лежат в плоскости α (a ∩ α, b ∩ α ).
Прямая c пересекает прямую a в точке A (c ∩ a = A) и прямую b в точке B (c ∩ b = B).

Доказательство:

1. По условию задачи, прямая c пересекает прямую a в точке A. Поскольку вся прямая a принадлежит плоскости α, то и точка их пересечения принадлежит этой плоскости: A ∈ α.
   
2. Аналогично, прямая c пересекает прямую b в точке B. Так как прямая b принадлежит плоскости α, то точка их пересечения также принадлежит этой плоскости: B ∈ α.
   
3. Мы получили, что две различные точки A и B, принадлежащие прямой c, одновременно лежат в плоскости α.
   
4. Согласно аксиоме стереометрии: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
   
5. Следовательно, вся прямая c лежит в плоскости α.
   

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 15 (стр. 8) → Следующее задание 17 (стр. 13)