ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 15
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №15 — подробное решение
Пятнадцатая задача учебника Л.С. Атанасяна — это серьёзное логическое упражнение. Формулировка «попарно пересекаются» означает, что любые две прямые из этого набора имеют общую точку. Нам нужно доказать, что такая конструкция либо плоская, либо образует «пучок» в пространстве.
Решение 1:
Условие задачи:
Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.
Решение задачи №15:
Пусть даны три прямые \(a, b\) и \(c\), которые пересекаются попарно. Обозначим точки их пересечения:
- a ∩ b = C
- b ∩ c = A
- a ∩ c = B
Возможны два варианта расположения этих точек:
Случай 1: Точки пересечения A, B и C — это три разные точки.
- Так как точки A, B, C не совпадают, они образуют треугольник. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость α (аксиома А1).
- Прямая a проходит через точки B и C. Поскольку эти две точки лежат в плоскости α, то и вся прямая a лежит в ней (аксиома А2).
- Аналогично, прямая b (через точки A и C) и прямая c (через точки A и B) также целиком лежат в плоскости α.
Вывод: В этом случае все три прямые лежат в одной плоскости.
Случай 2: Точки пересечения A, B и C совпадают в одной точке.
- Если точка пересечения прямых a и b совпадает с точкой пересечения прямых b и c, то все три прямые проходят через одну и ту же точку (например, точку M).
- В этом случае прямые не обязательно лежат в одной плоскости — они могут образовывать «связку» (как оси координат в углу комнаты).
Вывод: В этом случае прямые имеют одну общую точку.
Общий вывод: Третьего не дано: либо прямые «разошлись» и создали плоскость, либо «сошлись» в одной точке. Что и требовалось доказать.
Решение 2:
Условие:
Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.
Доказательство:
Обозначим прямые как a, b и c. По условию они пересекаются попарно. Рассмотрим две из них: прямые a и b. Пусть они пересекаются в точке M.
Согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые a и b проходит единственная плоскость α.
Рассмотрим два возможных случая для третьей прямой c:
1. Прямая c не проходит через точку M.
- Так как прямая c пересекает прямую a, обозначим точку их пересечения A. Точка A лежит в плоскости α (так как a ∩ α).
- Так как прямая c пересекает прямую b, обозначим точку их пересечения B. Точка B также лежит в плоскости α (так как b ∩ α).
- По аксиоме: если две точки прямой (A и B) лежат в плоскости α, то и вся прямая c целиком лежит в этой плоскости.
Итог: Все три прямые лежат в одной плоскости.
2. Прямая c проходит через точку M.
- В этом случае прямая c пересекает и a, и b в одной и той же точке — M.
- Тогда точка M является общей для всех трёх прямых. При этом прямые могут как лежать в одной плоскости, так и выходить из неё в разных направлениях.
Итог: Прямые имеют общую точку.
← Предыдущее задание 14 (стр. 8) → Следующее задание 16 (стр. 13)
