ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 16

Tags : аксиома А2 стереометрия Атанасян 10-11 класс ГДЗ геометрия 10 класс задача 16 доказательство параллельные прямые в плоскости

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №16 — подробное решение

Все задачи учебника

В шестнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается взаимное расположение трёх прямых в пространстве. Нам необходимо доказать, что любая секущая прямая, пересекающая две параллельные прямые, находящиеся в плоскости α, сама неизбежно принадлежит этой плоскости. Доказательство опирается на фундаментальную аксиому А2.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите, что прямая c, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости α.

Решение задачи №16:

Пусть параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Прямая c пересекает прямую a в некоторой точке A, а прямую b — в точке B.

1. Анализируем точку пересечения A:
   Поскольку прямая c пересекает прямую a в точке A, эта точка принадлежит прямой a (A ∈ a). Так как вся прямая a целиком лежит в плоскости α по условию, то и точка её пересечения A также лежит в плоскости α (A ∈ α).
   
2. Анализируем точку пересечения B:
   Аналогично, прямая c пересекает прямую b в точке B, значит, эта точка принадлежит прямой b (B ∈ b). Поскольку вся прямая b находится в плоскости α, то и точка B также лежит в плоскости α (B ∈ α).
   
3. Применяем аксиому А2:
   Мы выяснили, что у прямой c есть две фиксированные точки — A и B, которые гарантированно принадлежат плоскости α.
   Согласно аксиоме стереометрии А2: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
   

Вывод: Поскольку точки A и B принадлежат плоскости α, то и вся прямая c целиком лежит в плоскости α.

Что и требовалось доказать.

---

Решение 2:

Дано:

Прямые a и b параллельны (a || b) и лежат в плоскости α (a ⊂ α, b ⊂ α ).
Прямая c пересекает прямую a в точке A (c ∩ a = A) и прямую b в точке B (c ∩ b = B).

Доказать:
Прямая c лежит в плоскости α (c ⊂ α).

Доказательство:

1. По условию задачи, прямая c пересекает прямую a в точке A. Поскольку вся прямая a принадлежит плоскости α, то и точка их пересечения принадлежит этой плоскости: A ∈ α.
   
2. Аналогично, прямая c пересекает прямую b в точке B. Так как прямая b принадлежит плоскости α, то точка их пересечения также принадлежит этой плоскости: B ∈ α.
   
3. Мы получили, что две различные точки A и B, принадлежащие прямой c, одновременно лежат в плоскости α.
   
4. Согласно аксиоме стереометрии: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
   
5. Следовательно, вся прямая c лежит в плоскости α.
   

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 15 (стр. 8) → Следующее задание 17 (стр. 13)

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 15

Tags : аксиома А2 стереометрия Атанасян 10-11 класс ГДЗ геометрия 10 класс задача 16 доказательство параллельные прямые в плоскости

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №15 — подробное решение

Все задачи учебника

Пятнадцатая задача учебника Л.С. Атанасяна — это серьёзное логическое упражнение. Формулировка «попарно пересекаются» означает, что любые две прямые из этого набора имеют общую точку. Нам нужно доказать, что такая конструкция либо плоская, либо образует «пучок» в пространстве.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Решение задачи №15:

Пусть даны три прямые \(a, b\) и \(c\), которые пересекаются попарно. Обозначим точки их пересечения:

• a ∩ b = C
  
• b ∩ c = A
  
• a ∩ c = B
  

Возможны два варианта расположения этих точек:

Случай 1: Точки пересечения A, B и C — это три разные точки.

1. Так как точки A, B, C не совпадают, они образуют треугольник. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость α (аксиома А1).
   
2. Прямая a проходит через точки B и C. Поскольку эти две точки лежат в плоскости α, то и вся прямая a лежит в ней (аксиома А2).
   
3. Аналогично, прямая b (через точки A и C) и прямая c (через точки A и B) также целиком лежат в плоскости α.
   

Вывод: В этом случае все три прямые лежат в одной плоскости.

Случай 2: Точки пересечения A, B и C совпадают в одной точке.

1. Если точка пересечения прямых a и b совпадает с точкой пересечения прямых b и c, то все три прямые проходят через одну и ту же точку (например, точку M).
   
2. В этом случае прямые не обязательно лежат в одной плоскости — они могут образовывать «связку» (как оси координат в углу комнаты).
   

Вывод: В этом случае прямые имеют одну общую точку.

Общий вывод: Третьего не дано: либо прямые «разошлись» и создали плоскость, либо «сошлись» в одной точке. Что и требовалось доказать.

---

Решение 2:

Условие:

Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Доказательство:

Обозначим прямые как a, b и c. По условию они пересекаются попарно. Рассмотрим две из них: прямые a и b. Пусть они пересекаются в точке M.

Согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые a и b проходит единственная плоскость α.

Рассмотрим два возможных случая для третьей прямой c:

1. Прямая c не проходит через точку M.

• Так как прямая c пересекает прямую a, обозначим точку их пересечения A. Точка A лежит в плоскости α (так как a ∩ α).
  
• Так как прямая c пересекает прямую b, обозначим точку их пересечения B. Точка B также лежит в плоскости α (так как b ∩ α).
  
• По аксиоме: если две точки прямой (A и B) лежат в плоскости α, то и вся прямая c целиком лежит в этой плоскости.
  Итог: Все три прямые лежат в одной плоскости.

2. Прямая c проходит через точку M.

• В этом случае прямая c пересекает и a, и b в одной и той же точке — M.
• Тогда точка M является общей для всех трёх прямых. При этом прямые могут как лежать в одной плоскости, так и выходить из неё в разных направлениях.
  Итог: Прямые имеют общую точку.

← Предыдущее задание 14 (стр. 8) → Следующее задание 16 (стр. 13)