ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 10
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №10 — подробное решение
В десятой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы анализируем условия, при которых прямая гарантированно принадлежит плоскости треугольника. В основе решения лежит аксиома А2, которая является «фундаментом» для подобных доказательств в стереометрии.
Решение 1:
Условие задачи:
Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она:
- а) пересекает две стороны треугольника;
- б) проходит через одну из вершин треугольника?
Решение задачи №10:
Пункт а) Прямая пересекает две стороны треугольника
Ответ: ДА, ВЕРНО.
Обоснование:
- Если прямая пересекает сторону треугольника, значит, у них есть общая точка. Поскольку любая сторона треугольника целиком лежит в его плоскости, то и эта точка пересечения принадлежит плоскости треугольника.
- Прямая пересекает две стороны, следовательно, она имеет как минимум две общие точки с плоскостью треугольника.
- Согласно аксиоме А2: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
Вывод: Прямая обязана лежать в плоскости треугольника.
Пункт б) Прямая проходит через одну из вершин треугольника
Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.
Обоснование:
Вершина треугольника — это всего лишь одна точка. Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, которые не будут лежать в плоскости треугольника, а будут «протыкать» её под любым углом.
Прямая будет лежать в плоскости только в том случае, если мы найдем хотя бы еще одну её точку, принадлежащую этой плоскости. Без этого условия утверждать, что прямая лежит в плоскости, нельзя.
Решение 2:
а) Да, верно.
Обоснование:
- Обозначим плоскость треугольника как α. Любые две точки сторон треугольника по определению принадлежат плоскости α.
- Если прямая пересекает две стороны треугольника, значит, у неё есть как минимум две точки, лежащие в плоскости α.
- Согласно аксиоме стереометрии: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
б) Нет, неверно.
Обоснование:
- Через одну точку (вершину треугольника) в пространстве можно провести бесконечное множество прямых.
- Прямая может пересекать плоскость треугольника только в этой единственной точке (вершине) и уходить вверх или вниз под углом к плоскости. В таком случае она не будет лежать в плоскости треугольника.
Ответ: а) да; б) нет.
← Предыдущее задание 9 (стр. 9) → Следующее задание 11 (стр. 8)
