ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 15

Tags : аксиома А2 стереометрия Атанасян 10-11 класс ГДЗ геометрия 10 класс задача 16 доказательство параллельные прямые в плоскости

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №15 — подробное решение

Все задачи учебника

Пятнадцатая задача учебника Л.С. Атанасяна — это серьёзное логическое упражнение. Формулировка «попарно пересекаются» означает, что любые две прямые из этого набора имеют общую точку. Нам нужно доказать, что такая конструкция либо плоская, либо образует «пучок» в пространстве.

Решение 1:

Условие задачи:

Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Решение задачи №15:

Пусть даны три прямые \(a, b\) и \(c\), которые пересекаются попарно. Обозначим точки их пересечения:

• a ∩ b = C
  
• b ∩ c = A
  
• a ∩ c = B
  

Возможны два варианта расположения этих точек:

Случай 1: Точки пересечения A, B и C — это три разные точки.

1. Так как точки A, B, C не совпадают, они образуют треугольник. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость α (аксиома А1).
   
2. Прямая a проходит через точки B и C. Поскольку эти две точки лежат в плоскости α, то и вся прямая a лежит в ней (аксиома А2).
   
3. Аналогично, прямая b (через точки A и C) и прямая c (через точки A и B) также целиком лежат в плоскости α.
   

Вывод: В этом случае все три прямые лежат в одной плоскости.

Случай 2: Точки пересечения A, B и C совпадают в одной точке.

1. Если точка пересечения прямых a и b совпадает с точкой пересечения прямых b и c, то все три прямые проходят через одну и ту же точку (например, точку M).
   
2. В этом случае прямые не обязательно лежат в одной плоскости — они могут образовывать «связку» (как оси координат в углу комнаты).
   

Вывод: В этом случае прямые имеют одну общую точку.

Общий вывод: Третьего не дано: либо прямые «разошлись» и создали плоскость, либо «сошлись» в одной точке. Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Условие:

Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Доказательство:

Обозначим прямые как a, b и c. По условию они пересекаются попарно. Рассмотрим две из них: прямые a и b. Пусть они пересекаются в точке M.

Согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые a и b проходит единственная плоскость α.

Рассмотрим два возможных случая для третьей прямой c:

1. Прямая c не проходит через точку M.

• Так как прямая c пересекает прямую a, обозначим точку их пересечения A. Точка A лежит в плоскости α (так как a ∩ α).
  
• Так как прямая c пересекает прямую b, обозначим точку их пересечения B. Точка B также лежит в плоскости α (так как b ∩ α).
  
• По аксиоме: если две точки прямой (A и B) лежат в плоскости α, то и вся прямая c целиком лежит в этой плоскости.
  Итог: Все три прямые лежат в одной плоскости.

2. Прямая c проходит через точку M.

• В этом случае прямая c пересекает и a, и b в одной и той же точке — M.
• Тогда точка M является общей для всех трёх прямых. При этом прямые могут как лежать в одной плоскости, так и выходить из неё в разных направлениях.
  Итог: Прямые имеют общую точку.

← Предыдущее задание 14 (стр. 8) → Следующее задание 16 (стр. 13)