Author Archives: Администратор

  • 07
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 6

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №6 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Шестая задача из раздела «Вопросы и задачи» учебника Л.С. Атанасяна проверяет умение применять аксиомы стереометрии к простейшим геометрическим фигурам. Нам нужно доказать, что если мы соединим три произвольные точки отрезками, то вся получившаяся конструкция окажется в одной плоскости.

Решение 1:

Условие задачи:

Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

Решение задачи №6 (Доказательство):

Пусть даны три точки: A, B и C. По условию они попарно соединены отрезками, то есть мы имеем отрезки AB, BC и CA.

Чертеж к задаче 6 по геометрии 10-11 класс Атанасян: три точки и отрезки в плоскости

1. Применяем аксиому А1:

Согласно первой аксиоме стереометрии (А1), через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость α.

(Примечание: если точки лежат на одной прямой, то через них проходит бесконечное множество плоскостей, и в любой из них эти точки будут лежать).

Применяем аксиому А2:

Теперь воспользуемся второй аксиомой (А2): если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

  • Точки A и B лежат в плоскости a. Значит, прямая AB лежит в плоскости a. Следовательно, и отрезок AB лежит в этой плоскости.
  • Точки B и C лежат в плоскости a. Значит, прямая BС и отрезок BC также лежат в этой плоскости.
  • Точки C и A лежат в плоскости a. Значит, прямая CA и отрезок CA принадлежат этой плоскости.

Вывод:

Поскольку каждый из отрезков AB, BC и CA полностью принадлежит плоскости α, то и все отрезки вместе лежат в одной плоскости.

Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Условие:
Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

Доказательство:

1. Обозначим данные точки как A, B и C. По условию они соединены попарно, то есть мы имеем отрезки AB, BC и AC.

2. Согласно аксиоме стереометрии, через любые три точки (не лежащие на одной прямой) проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость α. (Если точки лежат на одной прямой, то через них также можно провести плоскость, причём не одну).

3. Воспользуемся другой аксиомой: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

4. Так как точки A и B лежат в плоскости α, то и вся прямая AB (а значит, и отрезок AB лежит в плоскости α.

5. Аналогично, так как B, C ∈ α, то отрезок BC ⊂ α.

6. Так как A, C ∈ α, то отрезок AC ⊂ α.

Вывод: все три отрезка лежат в одной плоскости α, что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 5 (стр. 8) → Следующее задание 7 (стр. 8)

  • 07
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 5

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №5 — разбор и ответ

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Пятая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет знание следствий из аксиом стереометрии. В отличие от случая, когда точки образуют треугольник, расположение трёх точек на одной прямой в корне меняет ответ на вопрос о количестве возможных плоскостей.

Решение 1:

Условие задачи:

Докажите, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

Решение задачи №5:

Доказательство существования:

1. Пусть даны три точки A, B и C, лежащие на одной прямой a.

Согласно аксиоме стереометрии, в пространстве существуют точки, не лежащие на данной прямой. Возьмём любую такую точку D. Через прямую a и точку D (не лежащую на ней) можно провести плоскость (по следствию из аксиом). Так как все три точки A, B, C лежат на прямой a, то они автоматически лежат и в этой проведённой плоскости. Значит, такая плоскость существует.

2. Сколько существует таких плоскостей?

Через прямую (а значит, и через три точки на ней) проходит бесконечное множество плоскостей.

Обоснование:

Представьте себе обычную книгу. Корешок книги — это прямая, на которой лежат ваши три точки. Каждая страница книги — это отдельная плоскость, проходящая через этот «корешок». Мы можем вращать плоскость вокруг прямой бесконечно, создавая новые и новые плоскости.

Решение 2:

Дано:
Точки A, B и C, лежащие на одной прямой a.

1. Существование плоскости:

Согласно аксиоме стереометрии, через любую прямую в пространстве проходит плоскость. Так как точки A, B и C лежат на прямой a, любая плоскость, содержащая эту прямую, будет содержать и эти три точки. Следовательно, плоскость существует.

2. Количество плоскостей:

Через прямую в пространстве можно провести бесконечное множество различных плоскостей (этот процесс можно представить как вращение плоскости вокруг прямой, подобно страницам в книге, закреплённым на одном переплёте).

Ответ: существует бесконечно много плоскостей.

← Предыдущее задание 4 (стр. 8) → Следующее задание 6 (стр. 8)

  • 03
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 4

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №4 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В задаче №4 рассматривается ситуация, когда четыре точки (A, B, C и D) не принадлежат одной плоскости. Это классический пример расположения вершин тетраэдра. Нам предстоит выяснить, накладывает ли это ограничение на расположение отдельных точек и прямых в пространстве.

Решение 1:

Условие задачи:

Точки А, В, C и D не лежат в одной плоскости.

а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться?

Ответ обоснуйте.

Решение задачи №4:

Пункт а) Могут ли три точки лежать на одной прямой?

  • Ответ: НЕТ, НЕ МОГУТ.
  • Обоснование: Докажем методом «от противного». Предположим, что три точки (например, A, B и C) лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и точку, не лежащую на ней (в нашем случае это точка D), можно провести плоскость. Тогда все четыре точки лежали бы в этой одной плоскости. Но это противоречит условию задачи. Следовательно, никакие три точки не могут лежать на одной прямой.

Пункт б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться?

  • Ответ: НЕТ, НЕ МОГУТ.
  • Обоснование: Снова используем доказательство от противного. Если бы прямые AB и CD пересекались, то они имели бы общую точку. По теореме стереометрии, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. В этой плоскости лежали бы обе прямые, а значит, и все четыре точки: A, B, C и D. Это вновь противоречит условию. Значит, прямые AB и CD являются скрещивающимися и не пересекаются.

Решение 2:

Дано:
Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Вопросы:
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться?

Ответ обоснуйте.

Решение:

а) Допустим, что три точки (например, A, B, C) лежат на одной прямой a.

  1. По следствию из аксиом стереометрии, через прямую a и точку D, не лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна.
  2. В этой плоскости будут лежать как точка D, так и прямая a со всеми принадлежащими ей точками (A, B и C).
  3. Следовательно, все четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Ответ: нет, не могут.

б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться? Ответ обоснуйте.
Ответ: Нет, не могут.

Объяснение:
Вспомним важное следствие из аксиом: если две прямые пересекаются, то через них можно провести плоскость, причём только одну.

  1. Если бы прямые AB и CD пересеклись в какой-то точке, то все точки, лежащие на этих прямых (а это наши A, B, C и D), автоматически оказались бы в одной общей плоскости.
  2. Это опять противоречит условию задачи, где сказано, что точки не лежат в одной плоскости.

Вердикт: Такие прямые называются скрещивающимися. Они «разминулись» в пространстве: не параллельны и не пересекаются, так как находятся в разных плоскостях.

!!! Запомни: Если 4 точки не лежат в одной плоскости, они всегда образуют вершины пирамиды (тетраэдра). В пирамиде противоположные рёбра никогда не пересекаются.

← Предыдущее задание 3 (стр. 8) → Следующее задание 5 (стр. 8)

  • 01
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 3

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №3 — ответы и объяснения (Аксиомы)

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В третьем задании учебника Л.С. Атанасяна рассматриваются фундаментальные свойства точек и плоскостей в пространстве. Понимание этих аксиом необходимо для решения любых задач стереометрии. Ниже мы разберём четыре утверждения и объясним, какие из них являются верными, а какие — нет.

Решение 1:

Условие задачи №3:

Верно ли, что:

  • а) любые три точки лежат в одной плоскости;
  • б) любые четыре точки лежат в одной плоскости;
  • в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости;
  • г) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?

Ответы с пояснениями:

а) Любые три точки лежат в одной плоскости?

  • Ответ: ДА, ВЕРНО.
  • Объяснение: Согласно аксиоме стереометрии (А1), через любые три точки проходит плоскость. Если точки не лежат на одной прямой, плоскость единственная. Если лежат на одной прямой — через них можно провести бесконечно много плоскостей, но в любом случае они будут лежать в одной плоскости.

б) Любые четыре точки лежат в одной плоскости?

  • Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.
  • Объяснение: В пространстве существуют точки, не лежащие в одной плоскости. Например, вершины тетраэдра (треугольной пирамиды): три точки образуют основание, а четвёртая (вершина) находится вне этой плоскости.

в) Любые четыре точки не лежат в одной плоскости?

  • Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.
  • Объяснение: Это утверждение слишком категорично. Четыре точки могут лежать в одной плоскости (например, четыре вершины квадрата на листе бумаги), но не обязаны это делать.

г) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?

  • Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.
  • Объяснение: Здесь есть важный нюанс. Плоскость будет единственной только в том случае, если эти три точки не лежат на одной прямой. Если же три точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечное множество плоскостей (как страницы в книге через переплёт). Читайте также: [Разбор задачи №4 про точки A, B, C, D]

Решение 2:

а) Верно ли, что любые три точки лежат в одной плоскости?

  • Ответ: Да, верно.
  • Объяснение: Это одна из основных аксиом стереометрии. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Если же точки лежат на одной прямой, то через них можно провести бесконечное множество плоскостей. В любом случае, нет такой ситуации, когда три точки «не поместились» бы в одну плоскость.

б) Верно ли, что любые четыре точки лежат в одной плоскости?

  • Ответ: Нет, неверно.
  • Объяснение: В пространстве существует бесконечно много точек, не лежащих в одной плоскости. Четвёртая точка может находиться вне плоскости, образованной первыми тремя. Классический пример — вершины тетраэдра (треугольной пирамиды). Точки A, B, C лежат в основании, а вершина D находится над ними.

в) Верно ли, что любые четыре точки не лежат в одной плоскости?

  • Ответ: Нет, неверно.
  • Объяснение: Это утверждение — крайность, обратная пункту «б». Существует бесконечно много случаев, когда четыре точки могут лежать в одной плоскости (например, четыре вершины квадрата или любые четыре точки на поверхности стола).

г) Верно ли, что через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна?

  • Ответ: Нет, не всегда.
  • Объяснение: Здесь есть важный нюанс. Плоскость будет единственной только в том случае, если эти три точки не лежат на одной прямой.
    • Если точки образуют треугольник — плоскость одна.
    • Если все три точки лежат на одной прямой — через них можно провести бесконечно много плоскостей (как страницы книги крепятся к одному переплету). Поэтому утверждение не является абсолютно верным для любых точек.

Подведем итог:
Из всех утверждений полностью верным и безусловным является только а.

← Предыдущее задание 2 (стр. 7-8) → Следующее задание 4 (стр. 8)

  • 25
    Апр 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 2

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №2 — решение с рисунком 9 (Куб)

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Разбор задачи №2 из учебника геометрии Атанасяна для 10-11 классов. В этом упражнении мы работаем с изображением куба (рис. 9) и учимся определять положение точек и прямых в пространстве. Это базовое задание на развитие пространственного мышления в стереометрии.

Рисунок 9 к задаче 2 по геометрии 10 класс Атанасян

Решение 1:

Условие задачи:

По рисунку 9 назовите:

  • а) точки, лежащие в плоскостях DCC1 и BQС;
  • б) плоскости, в которых лежит прямая AA1;
  • в) точки пересечения прямой MK с плоскостью ABD, прямых DK и BP с плоскостью A1B1C1;
  • г) прямые, по которым пересекаются плоскости AA1B и ACD, PB1C1 и ABC.
  • д) точки пересечения прямых MK и DC, B1C1 и BP, C1M и DC.

Решение задачи №2:

• Пункт а) Точки в указанных плоскостях:

  • В плоскости DCC1 (задняя грань куба) лежат точки: D, C, C1, D1, K, M.
  • В плоскости BQС (проходящей через ребро ВС и точку Q на верхнем ребре) лежат точки: B, Q, C, R.

• Пункт б) плоскости, в которых лежит прямая AA1:

Прямая AA1 является боковым ребром куба, поэтому она принадлежит двум видимым граням:

  • Плоскость AA1B1B (или просто AA1B).
  • Плоскость AA1D1D (или просто AA1D).

• Пункт в) Точки пересечения прямых с плоскостями:

  • Прямая MK пересекает плоскость ABD (основание куба) в точке C. (Так как точки M и K лежат на рёбрах, сходящихся в вершине C или её проекции). 
  • Прямая DK пересекает плоскость A1B1C1 (верхнее основание) в точке D1.
  • Прямая BP пересекает плоскость A1B1C1 в точке P.

• Пункт г) Линии пересечения плоскостей:

  • Плоскости AA1B (левая грань) и ACD (нижнее основание) пересекаются по прямой AB. 
  • Плоскости PB1C1 (проходит через верхнее ребро) и ABC (основание) пересекаются по прямой BC.

• Пункт д) Точки пересечения прямых:

В этом пункте мы рассматриваем прямые не только как отрезки (рёбра), но и как бесконечные линии.

1 Точка пересечения прямых MK и DC:

  • Разбор: Обе прямые лежат в плоскости задней грани куба (DCC1D1). Прямая MK проходит через точки на ребрах CC1 и C1D1. Прямая DC — это нижнее ребро этой же грани.
  • Ответ: Точка C. (Поскольку M и K лежат на рёбрах, сходящихся к вершине C1, их общая прямая при продолжении вниз пересечёт основание именно в вершине C, если точка M лежит на CC1).

2 Точка пересечения прямых B1C1 и BP:

  • Разбор: Эти прямые лежат в плоскости правой грани куба (BCC1B1). Прямая B1C1 — это верхнее ребро, а прямая BP проходит через нижнюю вершину B и точку P.
  • Ответ: Точка P. (Точка P по условию рисунка уже лежит на прямой B1C1, поэтому она и является точкой их пересечения).

3 Точка пересечения прямых C1M и DC:

  • Разбор: Прямые лежат в плоскости задней грани. C1M — это прямая, проходящая через боковое ребро CC1, а DC — нижнее ребро.
  • Ответ: Точка C. (Так как точка M лежит на ребре CC1, то прямая C1M совпадает с самим ребром. Ребро CC1 пересекается с ребром DC в вершине C).

Решение 2:

Задача 2 геометрия 10

Задача 2 геометрия 10

Задача 2 геометрия 10 класс

задача 2 д геометрия 10

← Предыдущее задание 1 (стр. 7) → Следующее задание 3 (стр. 8)

Newer Posts -- Older Posts

Поиск


Май 2026
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Апр    
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031

Архив

О нас

Помочь
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
Этот Сайт использует файлы cookies для сбора и хранения данных. Посещая Сайт, вы автоматически соглашаетесь с использованием данных технологий.

© Copyright, 2016. Enigma Theme | При копировании материала активная ссылка обязательна | Developed By Weblizar specially for Развивайка