ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 17

Tags : ГДЗ Атанасян 10-11 геометрия 10 класс задача 17 периметр четырехугольника MNQP рисунок 17 Атанасян средняя линия треугольника стереометрия

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №17 — подробное решение

Все задачи учебника

В семнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна мы ищем периметр четырехугольника MNQP, вершины которого лежат на рёбрах пространственной фигуры (рис. 17). Несмотря на то что задача относится к стереометрии, её решение сводится к классическому свойству средних линий в треугольниках. 

---

Решение 1:

Условие задачи:

На рисунке 17 точки M, N, Q, P — середины отрезков DB, DC, AC, AB. Найдите периметр четырёхугольника MNQP, если AD = 12 см, BC = 14 см.

Решение задачи №17:

1. Находим стороны MN и QP:

• Рассмотрим треугольник DBC. По условию, точки M и N — середины сторон DB и DC. Значит, отрезок MN является средней линией треугольника DBC. По свойству средней линии:

• Рассмотрим треугольник ABC. Точки P и Q — середины сторон AB и AC. Следовательно, отрезок QP — средняя линия треугольника ABC.

2. Находим стороны NQ и PM:

• Рассмотрим треугольник ACD. Точки N и Q — середины сторон CD и CA. Значит, отрезок NQ — средняя линия треугольника ACD. По свойству средней линии:

• Рассмотрим треугольник ABD. Точки M и P — середины сторон BD и BA. Следовательно, отрезок PM — средняя линия треугольника ABD.

3. Вычисляем периметр четырёхугольника MNQP:

Периметр любого четырёхугольника равен сумме длин всех его сторон:

P_MNQP = MN + NQ + QP + PM

P_MNQP = 7 + 6 + 7 + 6 = 26 см

Дополнительное замечание (для отличников): Поскольку противоположные стороны четырёхугольника равны (MN = QP = 7 см, NQ = PM = 6 см), то искомый четырёхугольник MNQP является параллелограммом.

Ответ: 26 см.

---

Решение 2:

Дано:

Тетраэдр DABC.

M — середина отрезка DB.
N — середина отрезка DC.
Q — середина отрезка AC.
P — середина отрезка AB.
AD = 12 см, BC = 14 см.

Найти:

Периметр четырёхугольника MNQP (P_MNQP).

Решение:

1. Рассмотрим треугольник DBC:

Точки M и N — середины сторон DB и DC по условию.

Следовательно, отрезок MN является средней линией треугольника DBC.

2. Рассмотрим треугольник ABC:

Точки P и Q — середины сторон AB и AC по условию.

Следовательно, отрезок PQ является средней линией треугольника ABC.

3. Рассмотрим треугольник ABD:

Точки M и P — середины сторон DB и AB по условию.

Следовательно, отрезок MP является средней линией треугольника ABD.

4. Рассмотрим треугольник ACD:

Точки N и Q — середины сторон DC и по условию.

Следовательно, отрезок NQ является средней линией треугольника ACD.

5. Найдём периметр четырёхугольника MNQP:

P_MNQP = MN + NQ + QP + PM

P_MNQP = 7 + 6 + 7 + 6 = 26 см

Ответ: 26 см.

← Предыдущее задание 16 (стр. 13) → Следующее задание 18 (стр. 13)