Author Archives: Администратор

  • 09
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 11

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №11 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В одиннадцатой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы доказываем свойство «плоского пучка» прямых. Эта задача учит нас тому, как одна точка и одна прямая могут жёстко задать положение множества других прямых в пространстве.

Решение 1:

Условие задачи:

Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Решение задачи №11:

Чертеж к задаче 11 геометрия 10 класс Атанасян прямая и точка вне прямой

Пусть дана прямая a и точка M, не лежащая на этой прямой (M ∈ a).

1. Задаем плоскость:

Согласно следствию из аксиом стереометрии (или теореме), через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Назовём эту плоскость α.

Так как прямая a лежит в плоскости α, то все точки этой прямой также принадлежат α.

2. Рассмотрим произвольную прямую:

Возьмём любую прямую b, которая проходит через точку M и пересекает прямую a в некоторой точке K.

3. Применяем аксиому А2:

  1. Точка M лежит в плоскости α (по построению плоскости).
  2. Точка K также лежит в плоскости α (так как она является точкой прямой a, принадлежащей этой плоскости).
  3. Следовательно, у прямой b есть две точки (M и K), лежащие в плоскости α.
  4. Согласно аксиоме А2, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Вывод: Любая прямая, проходящая через точку M и пересекающая прямую a, целиком лежит в плоскости α.

Решение 2:

Чертеж к задаче 11 геометрия 10 класс Атанасян прямая и точка вне прямой

Дано:

Прямая a и точка M, не лежащая на ней (M ∈ a).

Прямые b1, b2, b3 ..., проходящие через точку M и пересекающие прямую a.

Доказать:

Все прямые bn лежат в одной плоскости.

Доказательство:

  1. Согласно следствию из аксиом стереометрии: через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость, и притом только одна.
  2. Следовательно, прямая a и точка M однозначно определяют некоторую плоскость α.
  3. Возьмём любую произвольную прямую b, которая проходит через точку M и пересекает прямую a в некоторой точке K.
  4. Точка M принадлежит плоскости α (по построению плоскости).
  5. Точка K принадлежит плоскости α, так как она лежит на прямой a, которая целиком принадлежит этой плоскости.
  6. По аксиоме стереометрии: если две точки прямой (M и K) лежат в плоскости, то и вся прямая (b) лежит в этой плоскости.
  7. Так как рассуждение верно для любой прямой, проходящей через M и пересекающей a, все такие прямые лежат в плоскости α.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 10 (стр. 8) → Следующее задание 12 (стр. 8)

  • 08
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 10

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №10 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В десятой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы анализируем условия, при которых прямая гарантированно принадлежит плоскости треугольника. В основе решения лежит аксиома А2, которая является «фундаментом» для подобных доказательств в стереометрии.

Решение 1:

Условие задачи:

Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она:

  • а) пересекает две стороны треугольника;
  • б) проходит через одну из вершин треугольника?

Решение задачи №10:

Пункт а) Прямая пересекает две стороны треугольника

Ответ: ДА, ВЕРНО.

Чертеж к задаче 10 геометрия 10 класс Атанасян прямая и треугольник

Обоснование:

  1. Если прямая пересекает сторону треугольника, значит, у них есть общая точка. Поскольку любая сторона треугольника целиком лежит в его плоскости, то и эта точка пересечения принадлежит плоскости треугольника.
  2. Прямая пересекает две стороны, следовательно, она имеет как минимум две общие точки с плоскостью треугольника.
  3. Согласно аксиоме А2: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
    Вывод: Прямая обязана лежать в плоскости треугольника.

Пункт б) Прямая проходит через одну из вершин треугольника

Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.

Чертеж к задаче 10 геометрия 10 класс Атанасян прямая и треугольник

Обоснование:

Вершина треугольника — это всего лишь одна точка. Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, которые не будут лежать в плоскости треугольника, а будут «протыкать» её под любым углом.

Прямая будет лежать в плоскости только в том случае, если мы найдем хотя бы еще одну её точку, принадлежащую этой плоскости. Без этого условия утверждать, что прямая лежит в плоскости, нельзя.

Решение 2:

а) Да, верно.

Обоснование:

  1. Обозначим плоскость треугольника как α. Любые две точки сторон треугольника по определению принадлежат плоскости α.
  2. Если прямая пересекает две стороны треугольника, значит, у неё есть как минимум две точки, лежащие в плоскости α.
  3. Согласно аксиоме стереометрии: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

б) Нет, неверно.
Обоснование:

  1. Через одну точку (вершину треугольника) в пространстве можно провести бесконечное множество прямых.
  2. Прямая может пересекать плоскость треугольника только в этой единственной точке (вершине) и уходить вверх или вниз под углом к плоскости. В таком случае она не будет лежать в плоскости треугольника.

Ответ: а) да; б) нет.

← Предыдущее задание 9 (стр. 8) → Следующее задание 11 (стр. 8)

  • 08
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 9

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №9 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Девятая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет знание свойств параллелограмма и умение применять аксиому А2. Чтобы доказать принадлежность всей фигуры плоскости, нам достаточно подтвердить, что её ключевые точки зафиксированы в этой плоскости.

Решение 1:

Чертеж к задаче 9 геометрия 10 класс Атанасян параллелограмм в плоскости альфа

Условие задачи:

Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте.

Решение задачи №9:

Ответ: ДА, ЛЕЖАТ.

Обоснование (Доказательство):

Пусть ABCD — данный параллелограмм, а O — точка пересечения его диагоналей. Допустим, в плоскости α лежат смежные вершины A и B, а также точка O.

1. Рассмотрим диагональ AC:

Точки A и O лежат в плоскости α по условию. Так как точка O лежит на диагонали AC, то точки A, O, C лежат на одной прямой. Согласно аксиоме А2, если две точки прямой (A и O) лежат в плоскости, то и вся прямая AC лежит в этой плоскости. Следовательно, точка C также лежит в плоскости α.

2. Рассмотрим диагональ BD:

Аналогично: точки B и O лежат в плоскости α по условию. Поскольку точка O является точкой пересечения диагоналей, она лежит на прямой BD. По аксиоме А2, если точки B и O лежат в плоскости, то и вся прямая BD лежит в этой плоскости. Следовательно, точка D также лежит в плоскости α.

Вывод: Все вершины параллелограмма ABCD лежат в плоскости α.

Решение 2:

Дано:
ABCD — параллелограмм.

A, B (смежные вершины) и O (точка пересечения диагоналей) лежат в плоскости α.

Вопрос:
Лежат ли вершины C и D в плоскости α?

Решение:

1. Рассмотрим диагональ AC. По условию точки A и O лежат в плоскости α.

2. Согласно аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая AC целиком лежит в плоскости α.

3. Так как вершина C принадлежит прямой AC, она также лежит в плоскости α.

4. Рассмотрим диагональ BD. По условию точки B и O лежат в плоскости α.

5. Аналогично, прямая BD целиком принадлежит плоскости α, так как две её точки (B и O) лежат в этой плоскости.

6. Так как вершина D принадлежит прямой BD, она также лежит в плоскости α.

Вывод:
Поскольку все вершины параллелограмма (A, B, C, D) принадлежат плоскости α, то и весь параллелограмм лежит в этой плоскости.

Ответ: Да, лежат.

← Предыдущее задание 8 (стр. 8) → Следующее задание 10 (стр. 8)

  • 07
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 8

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №8 — решение и объяснение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Восьмая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет, как учащиеся умеют применять аксиомы стереометрии к криволинейным фигурам. Окружность — это плоская фигура, но чтобы «зафиксировать» её в конкретной плоскости в пространстве, недостаточно двух точек. Разберёмся почему.

Решение 1:

Условие задачи:

Верно ли утверждение:

а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости;

б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Решение задачи №8:

Чертеж к задаче 8 геометрия 10 класс Атанасян окружность пересекает плоскость

Пункт а) Две точки окружности в плоскости

Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.

Обоснование: Представьте, что окружность — это обруч, а плоскость — поверхность воды. Вы можете опустить обруч в воду так, что он будет пересекать поверхность только в двух точках. При этом большая часть обруча будет находиться над или под водой.

С точки зрения геометрии: Через две точки проходит прямая (хорда окружности). Окружность может вращаться вокруг этой прямой как на оси, пересекая плоскость только в этих двух точках.

Пункт б) Три точки окружности в плоскости

Ответ: ДА, ВЕРНО.

Обоснование: Окружность — это плоская фигура (она всегда целиком лежит в какой-то одной своей плоскости). По аксиоме А1, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Три точки окружности не могут лежать на одной прямой. Значит, через них проходит единственная плоскость. Так как сама окружность плоская и три её точки уже зафиксированы в плоскости α, то и вся окружность обязана лежать в этой плоскости.

Решение 2:

Условие:

Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Решение:

а) Нет, утверждение неверно.

Обоснование: Через две точки можно провести прямую, которая может быть линией пересечения двух плоскостей. Представьте плоскость стола и лист бумаги, который касается стола в двух точках окружности (хорда). При этом сам лист может быть наклонён под любым углом к столу, и остальная часть окружности будет находиться вне плоскости стола.

Две точки определяют только положение прямой, но не окружности или плоскости.

б) Да, утверждение верно.

Обоснование:

1. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

2. Любые три точки окружности не могут лежать на одной прямой. Значит, через них проходит ровно одна плоскость.

3. Поскольку вся окружность — это плоская фигура, которая однозначно задаётся тремя своими точками, она будет целиком принадлежать этой единственной плоскости.

Ответ: а) нет; б) да.

← Предыдущее задание 7 (стр. 8) → Следующее задание 9 (стр. 8)

  • 07
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 7

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №7 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Седьмая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет умение учащихся работать с плоскостью, заданной двумя пересекающимися прямыми. Мы разберём, почему «перемычки» между этими прямыми всегда лежат в одной плоскости, и выясним, что происходит с прямыми, проходящими через общую точку М.

Решение 1:

Условие задачи:

Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

Решение задачи №7:

Чертеж к задаче 7 геометрия 10 класс Атанасян две пересекающиеся прямые

На чертеже прямая n проходит через точку M, но не принадлежит плоскости a. Она пересекает плоскость в единственной точке M. Это наглядно доказывает, что не все прямые, проходящие через общую точку, должны лежать в одной плоскости. В пространстве таких прямых может быть бесконечное множество, и они могут быть направлены в разные стороны (образовывать "связку" или "пучок" прямых)

1. Доказательство первой части:

Пусть даны две прямые a и b, которые пересекаются в точке M.

Согласно теореме (следствие из аксиом), через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Назовем её плоскостью α.

Возьмём произвольную прямую c, которая не проходит через точку M, но пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B.

Поскольку точка A лежит на прямой a, она принадлежит плоскости α. Аналогично, точка B лежит на прямой b, значит, она тоже принадлежит плоскости α.

Согласно аксиоме А2, если две точки прямой A и B лежат в плоскости, то и вся прямая c лежит в этой плоскости.

Вывод: Все такие прямые c лежат в плоскости α.

2. Ответ на второй вопрос:

Вопрос: Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

Ответ: НЕТ, НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО.

Пояснение: Через точку M в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, направленных в разные стороны (как иглы у ежа). Они не будут принадлежать одной плоскости. Только те прямые, которые изначально лежат в нашей плоскости α, будут в ней находиться.

Решение 2:

Условие:

Две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

Решение:

Доказательство первой части:

1. Обозначим данные пересекающиеся прямые как a и b. Точка их пересечения — M.

2. Согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость α.

3. Возьмём произвольную прямую c, которая не проходит через точку M, но пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B.

4. Так как прямая a лежит в плоскости α, то точка A принадлежит α.

5. Так как прямая b лежит в плоскости α, то точка B принадлежит α.

6. По аксиоме стереометрии: если две точки прямой A и B лежат в плоскости α, то и вся прямая c лежит в этой плоскости.

Что и требовалось доказать.

Ответ на вопрос:

Нет, не все прямые, проходящие через точку M, лежат в одной плоскости.

Обоснование: Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, направленных в разные стороны. Они не будут ограничены какой-то одной плоскостью.

Ответ: 1) доказано; 2) нет, не обязательно.

← Предыдущее задание 6 (стр. 8) → Следующее задание 8 (стр. 8)

Newer Posts -- Older Posts

Поиск


Май 2026
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Апр    
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031

Архив

О нас

Помочь
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
Этот Сайт использует файлы cookies для сбора и хранения данных. Посещая Сайт, вы автоматически соглашаетесь с использованием данных технологий.

© Copyright, 2016. Enigma Theme | При копировании материала активная ссылка обязательна | Developed By Weblizar specially for Развивайка