ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 8
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №8 — решение и объяснение
Восьмая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет, как учащиеся умеют применять аксиомы стереометрии к криволинейным фигурам. Окружность — это плоская фигура, но чтобы «зафиксировать» её в конкретной плоскости в пространстве, недостаточно двух точек. Разберёмся почему.
Решение 1:
Условие задачи:
Верно ли утверждение:
а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости;
б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
Решение задачи №8:
Пункт а) Две точки окружности в плоскости
Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.
Обоснование: Представьте, что окружность — это обруч, а плоскость — поверхность воды. Вы можете опустить обруч в воду так, что он будет пересекать поверхность только в двух точках. При этом большая часть обруча будет находиться над или под водой.
С точки зрения геометрии: Через две точки проходит прямая (хорда окружности). Окружность может вращаться вокруг этой прямой как на оси, пересекая плоскость только в этих двух точках.
Пункт б) Три точки окружности в плоскости
Ответ: ДА, ВЕРНО.
Обоснование: Окружность — это плоская фигура (она всегда целиком лежит в какой-то одной своей плоскости). По аксиоме А1, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Три точки окружности не могут лежать на одной прямой. Значит, через них проходит единственная плоскость. Так как сама окружность плоская и три её точки уже зафиксированы в плоскости α, то и вся окружность обязана лежать в этой плоскости.
Решение 2:
Условие:
Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?
Решение:
а) Нет, утверждение неверно.
Обоснование: Через две точки можно провести прямую, которая может быть линией пересечения двух плоскостей. Представьте плоскость стола и лист бумаги, который касается стола в двух точках окружности (хорда). При этом сам лист может быть наклонён под любым углом к столу, и остальная часть окружности будет находиться вне плоскости стола.
Две точки определяют только положение прямой, но не окружности или плоскости.
б) Да, утверждение верно.
Обоснование:
1. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
2. Любые три точки окружности не могут лежать на одной прямой. Значит, через них проходит ровно одна плоскость.
3. Поскольку вся окружность — это плоская фигура, которая однозначно задаётся тремя своими точками, она будет целиком принадлежать этой единственной плоскости.
Ответ: а) нет; б) да.
← Предыдущее задание 7 (стр. 8) → Следующее задание 9 (стр. 8)
