ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 7
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №7 — подробное решение
Седьмая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет умение учащихся работать с плоскостью, заданной двумя пересекающимися прямыми. Мы разберём, почему «перемычки» между этими прямыми всегда лежат в одной плоскости, и выясним, что происходит с прямыми, проходящими через общую точку М.
Решение 1:
Условие задачи:
Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?
Решение задачи №7:
На чертеже прямая n проходит через точку M, но не принадлежит плоскости a. Она пересекает плоскость в единственной точке M. Это наглядно доказывает, что не все прямые, проходящие через общую точку, должны лежать в одной плоскости. В пространстве таких прямых может быть бесконечное множество, и они могут быть направлены в разные стороны (образовывать "связку" или "пучок" прямых)
1. Доказательство первой части:
Пусть даны две прямые a и b, которые пересекаются в точке M.
Согласно теореме (следствие из аксиом), через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Назовем её плоскостью α.
Возьмём произвольную прямую c, которая не проходит через точку M, но пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B.
Поскольку точка A лежит на прямой a, она принадлежит плоскости α. Аналогично, точка B лежит на прямой b, значит, она тоже принадлежит плоскости α.
Согласно аксиоме А2, если две точки прямой A и B лежат в плоскости, то и вся прямая c лежит в этой плоскости.
Вывод: Все такие прямые c лежат в плоскости α.
2. Ответ на второй вопрос:
Вопрос: Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?
Ответ: НЕТ, НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО.
Пояснение: Через точку M в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, направленных в разные стороны (как иглы у ежа). Они не будут принадлежать одной плоскости. Только те прямые, которые изначально лежат в нашей плоскости α, будут в ней находиться.
Решение 2:
Условие:
Две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?
Решение:
Доказательство первой части:
1. Обозначим данные пересекающиеся прямые как a и b. Точка их пересечения — M.
2. Согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость α.
3. Возьмём произвольную прямую c, которая не проходит через точку M, но пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B.
4. Так как прямая a лежит в плоскости α, то точка A принадлежит α.
5. Так как прямая b лежит в плоскости α, то точка B принадлежит α.
6. По аксиоме стереометрии: если две точки прямой A и B лежат в плоскости α, то и вся прямая c лежит в этой плоскости.
Что и требовалось доказать.
Ответ на вопрос:
Нет, не все прямые, проходящие через точку M, лежат в одной плоскости.
Обоснование: Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, направленных в разные стороны. Они не будут ограничены какой-то одной плоскостью.
Ответ: 1) доказано; 2) нет, не обязательно.
← Предыдущее задание 6 (стр. 8) → Следующее задание 8 (стр. 8)
