ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 9
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №9 — подробное решение
Девятая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет знание свойств параллелограмма и умение применять аксиому А2. Чтобы доказать принадлежность всей фигуры плоскости, нам достаточно подтвердить, что её ключевые точки зафиксированы в этой плоскости.
Решение 1:
Условие задачи:
Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте.
Решение задачи №9:
Ответ: ДА, ЛЕЖАТ.
Обоснование (Доказательство):
Пусть ABCD — данный параллелограмм, а O — точка пересечения его диагоналей. Допустим, в плоскости α лежат смежные вершины A и B, а также точка O.
1. Рассмотрим диагональ AC:
Точки A и O лежат в плоскости α по условию. Так как точка O лежит на диагонали AC, то точки A, O, C лежат на одной прямой. Согласно аксиоме А2, если две точки прямой (A и O) лежат в плоскости, то и вся прямая AC лежит в этой плоскости. Следовательно, точка C также лежит в плоскости α.
2. Рассмотрим диагональ BD:
Аналогично: точки B и O лежат в плоскости α по условию. Поскольку точка O является точкой пересечения диагоналей, она лежит на прямой BD. По аксиоме А2, если точки B и O лежат в плоскости, то и вся прямая BD лежит в этой плоскости. Следовательно, точка D также лежит в плоскости α.
Вывод: Все вершины параллелограмма ABCD лежат в плоскости α.
Решение 2:
Дано:
ABCD — параллелограмм.
A, B (смежные вершины) и O (точка пересечения диагоналей) лежат в плоскости α.
Вопрос:
Лежат ли вершины C и D в плоскости α?
Решение:
1. Рассмотрим диагональ AC. По условию точки A и O лежат в плоскости α.
2. Согласно аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая AC целиком лежит в плоскости α.
3. Так как вершина C принадлежит прямой AC, она также лежит в плоскости α.
4. Рассмотрим диагональ BD. По условию точки B и O лежат в плоскости α.
5. Аналогично, прямая BD целиком принадлежит плоскости α, так как две её точки (B и O) лежат в этой плоскости.
6. Так как вершина D принадлежит прямой BD, она также лежит в плоскости α.
Вывод:
Поскольку все вершины параллелограмма (A, B, C, D) принадлежат плоскости α, то и весь параллелограмм лежит в этой плоскости.
Ответ: Да, лежат.
← Предыдущее задание 8 (стр. 8) → Следующее задание 10 (стр. 8)
