ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 16

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №16 — подробное решение

Все задачи учебника

В шестнадцатом задании учебника Л.С. Атанасяна рассматривается взаимное расположение трёх прямых в пространстве. Нам необходимо доказать, что любая секущая прямая, пересекающая две параллельные прямые, находящиеся в плоскости α, сама неизбежно принадлежит этой плоскости. Доказательство опирается на фундаментальную аксиому А2.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Докажите, что прямая c, пересекающая прямые a и b, также лежит в плоскости α.

Решение задачи №16:

Пусть параллельные прямые a и b лежат в плоскости α. Прямая c пересекает прямую a в некоторой точке A, а прямую b — в точке B.

1. Анализируем точку пересечения A:
   Поскольку прямая c пересекает прямую a в точке A, эта точка принадлежит прямой a (A ∈ a). Так как вся прямая a целиком лежит в плоскости α по условию, то и точка её пересечения A также лежит в плоскости α (A ∈ α).
   
2. Анализируем точку пересечения B:
   Аналогично, прямая c пересекает прямую b в точке B, значит, эта точка принадлежит прямой b (B ∈ b). Поскольку вся прямая b находится в плоскости α, то и точка B также лежит в плоскости α (B ∈ α).
   
3. Применяем аксиому А2:
   Мы выяснили, что у прямой c есть две фиксированные точки — A и B, которые гарантированно принадлежат плоскости α.
   Согласно аксиоме стереометрии А2: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
   

Вывод: Поскольку точки A и B принадлежат плоскости α, то и вся прямая c целиком лежит в плоскости α.

Что и требовалось доказать.

---

Решение 2:

Дано:

Прямые a и b параллельны (a || b) и лежат в плоскости α (a ⊂ α, b ⊂ α ).
Прямая c пересекает прямую a в точке A (c ∩ a = A) и прямую b в точке B (c ∩ b = B).

Доказать:
Прямая c лежит в плоскости α (c ⊂ α).

Доказательство:

1. По условию задачи, прямая c пересекает прямую a в точке A. Поскольку вся прямая a принадлежит плоскости α, то и точка их пересечения принадлежит этой плоскости: A ∈ α.
   
2. Аналогично, прямая c пересекает прямую b в точке B. Так как прямая b принадлежит плоскости α, то точка их пересечения также принадлежит этой плоскости: B ∈ α.
   
3. Мы получили, что две различные точки A и B, принадлежащие прямой c, одновременно лежат в плоскости α.
   
4. Согласно аксиоме стереометрии: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
   
5. Следовательно, вся прямая c лежит в плоскости α.
   

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 15 (стр. 8) → Следующее задание 17 (стр. 13)

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 15

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №15 — подробное решение

Все задачи учебника

Пятнадцатая задача учебника Л.С. Атанасяна — это серьёзное логическое упражнение. Формулировка «попарно пересекаются» означает, что любые две прямые из этого набора имеют общую точку. Нам нужно доказать, что такая конструкция либо плоская, либо образует «пучок» в пространстве.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Решение задачи №15:

Пусть даны три прямые \(a, b\) и \(c\), которые пересекаются попарно. Обозначим точки их пересечения:

• a ∩ b = C
  
• b ∩ c = A
  
• a ∩ c = B
  

Возможны два варианта расположения этих точек:

Случай 1: Точки пересечения A, B и C — это три разные точки.

1. Так как точки A, B, C не совпадают, они образуют треугольник. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость α (аксиома А1).
   
2. Прямая a проходит через точки B и C. Поскольку эти две точки лежат в плоскости α, то и вся прямая a лежит в ней (аксиома А2).
   
3. Аналогично, прямая b (через точки A и C) и прямая c (через точки A и B) также целиком лежат в плоскости α.
   

Вывод: В этом случае все три прямые лежат в одной плоскости.

Случай 2: Точки пересечения A, B и C совпадают в одной точке.

1. Если точка пересечения прямых a и b совпадает с точкой пересечения прямых b и c, то все три прямые проходят через одну и ту же точку (например, точку M).
   
2. В этом случае прямые не обязательно лежат в одной плоскости — они могут образовывать «связку» (как оси координат в углу комнаты).
   

Вывод: В этом случае прямые имеют одну общую точку.

Общий вывод: Третьего не дано: либо прямые «разошлись» и создали плоскость, либо «сошлись» в одной точке. Что и требовалось доказать.

---

Решение 2:

Условие:

Три прямые попарно пересекаются. Докажите, что они либо лежат в одной плоскости, либо имеют общую точку.

Доказательство:

Обозначим прямые как a, b и c. По условию они пересекаются попарно. Рассмотрим две из них: прямые a и b. Пусть они пересекаются в точке M.

Согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые a и b проходит единственная плоскость α.

Рассмотрим два возможных случая для третьей прямой c:

1. Прямая c не проходит через точку M.

• Так как прямая c пересекает прямую a, обозначим точку их пересечения A. Точка A лежит в плоскости α (так как a ∩ α).
  
• Так как прямая c пересекает прямую b, обозначим точку их пересечения B. Точка B также лежит в плоскости α (так как b ∩ α).
  
• По аксиоме: если две точки прямой (A и B) лежат в плоскости α, то и вся прямая c целиком лежит в этой плоскости.
  Итог: Все три прямые лежат в одной плоскости.

2. Прямая c проходит через точку M.

• В этом случае прямая c пересекает и a, и b в одной и той же точке — M.
• Тогда точка M является общей для всех трёх прямых. При этом прямые могут как лежать в одной плоскости, так и выходить из неё в разных направлениях.
  Итог: Прямые имеют общую точку.

← Предыдущее задание 14 (стр. 8) → Следующее задание 16 (стр. 13)

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 14

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №14 — подробное решение

Все задачи учебника

Четырнадцатая задача учебника Л.С. Атанасяна рассматривает случай «пучка» из трёх прямых, выходящих из одной вершины. Нам нужно определить количество плоскостей, которые могут быть образованы парами этих прямых. Здесь возможны два сценария развития событий.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?

Решение задачи №14:

Количество плоскостей зависит от того, лежат ли все три прямые в одной плоскости или нет.

Случай 1: Все три прямые лежат в одной плоскости.

Если прямые a, b и c изначально принадлежат одной и той же плоскости α, то любая пара этих прямых будет задавать одну и ту же плоскость.

• Ответ: 1 плоскость.
  

Случай 2: Прямые не лежат в одной плоскости.

Если прямые не лежат в одной плоскости (образуют «треногу»), то каждая пара пересекающихся прямых задаёт свою уникальную плоскость. Обозначим прямые как a, b и c.

Мы можем составить следующие пары:

1. Прямые a и b — образуют 1-ю плоскость.
   
2. Прямые b и c — образуют 2-ю плоскость.
   
3. Прямые a и c — образуют 3-ю плоскость.
   

• Ответ: 3 плоскости.
  

Итоговый ответ: 1 или 3 плоскости.

---

Решение 2:

Условие:

Три прямые проходят через одну точку. Через каждые две из них проведена плоскость. Сколько всего проведено плоскостей?

Решение:

Пусть даны три прямые a, b и c, пересекающиеся в точке O. Рассмотрим два возможных случая:

1. Прямые не лежат в одной плоскости.

В этом случае каждые две прямые определяют свою уникальную плоскость (согласно следствию из аксиом: через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость).

• Прямые a и b образуют плоскость α;
  
• Прямые b и c образуют плоскость β;
  
• Прямые a и c образуют плоскость γ.
  

Итого: 3 плоскости.

2. Все три прямые лежат в одной плоскости.

Если прямая c лежит в той же плоскости, что и пересекающиеся a и b, то любая пара этих прямых будет лежать в этой же плоскости. Новых плоскостей не образуется.

Итого: 1 плоскость.

Ответ: 1 или 3 плоскости.

← Предыдущее задание 13 (стр. 8) → Следующее задание 15 (стр. 8)

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 13

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №13 — подробное решение

Все задачи учебника

В тринадцатой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы разбираем базовые свойства пересечения плоскостей. Ответы на эти вопросы напрямую вытекают из аксиом стереометрии, которые определяют структуру трёхмерного пространства.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Могут ли две плоскости иметь:

• а) только одну общую точку;
  
• б) только две общие точки;
  
• в) только одну общую прямую?

---

Решение задачи №13:

Прямая a — единственная линия пересечения плоскостей α и β

---

а) Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

Ответ: НЕТ.

Обоснование: Согласно аксиоме А3, если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Прямая содержит бесконечное множество точек, поэтому «только одной» точки быть не может.

б) Могут ли две плоскости иметь только две общие точки?

Ответ: НЕТ.

Обоснование: По той же аксиоме А3, наличие хотя бы одной общей точки гарантирует наличие целой общей прямой. А на любой прямой находится бесконечное количество точек. Следовательно, иметь ровно две общие точки плоскости не могут.

в) Могут ли две плоскости иметь только одну общую прямую?

Ответ: ДА.

Обоснование: Это классический случай пересечения двух плоскостей. Если плоскости не совпадают и не параллельны, то линия пересечения плоскостей — это единственная прямая. Все их общие точки будут лежать исключительно на этой прямой.

---

Решение 2:

Вопрос: Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?

Решение:

а) Нет, не могут.

Обоснование: Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. На прямой лежит бесконечное множество точек, поэтому одна-единственная точка у пересекающихся плоскостей быть не может.

б) Нет, не могут.

Обоснование: Это утверждение противоречит той же аксиоме. Если у плоскостей есть две общие точки, то через них можно провести прямую. Согласно другой аксиоме, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Таким образом, все точки этой прямой будут общими для обеих плоскостей.

в) Да, могут.

Обоснование: Это стандартный случай пересечения двух плоскостей. Если две плоскости не параллельны и не совпадают, они пересекаются по одной прямой (и только по одной). Все их общие точки будут принадлежать этой прямой.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

← Предыдущее задание 12 (стр. 8) → Следующее задание 14 (стр. 8)

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 12

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №12 — подробное решение

Все задачи учебника

В двенадцатой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы анализируем взаимное расположение двух плоскостей, построенных на вершинах тетраэдра. Ключом к решению является поиск общих точек, которые определяют линию пересечения плоскостей.

---

Решение 1:

Условие задачи:

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки A, B, C и A, B, D?

---

Решение задачи №12:

Ответ: ДА, ПЕРЕСЕКАЮТСЯ.

Обоснование:

1. Рассмотрим первую плоскость, проходящую через точки A, B и C. Обозначим её (ABC).
   
2. Рассмотрим вторую плоскость, проходящую через точки A, B и D. Обозначим её (ABD).
   
3. Заметим, что у этих двух плоскостей есть две общие точки — A и B.
   
4. Согласно аксиоме стереометрии (А3): если две плоскости имеют общие точки, то они имеют и общую прямую. В нашем случае прямой AB и является линия пересечения плоскостей (ABC) и (ABD).
   
5. Поскольку у наших плоскостей общими являются сразу две точки (A и B), то они пересекаются по прямой AB, которая принадлежит каждой из этих плоскостей.
   

Важное дополнение: Так как по условию точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, это гарантирует, что плоскости (ABC) и (ABD) не совпадают, а являются именно пересекающимися.

Ответ: Да. Плоскости пересекаются, так как у них есть общая сторона AB, которая по определению аксиом стереометрии представляет собой линию пересечения плоскостей.

---

Решение 2:

Дано:

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Плоскость α проходит через точки A, B, C.

Плоскость β проходит через точки A, B, D.

Решение:

• Рассмотрим плоскость α, проходящую через точки A, B и C, и плоскость β, проходящую через точки A, B и D.
  
• Заметим, что точки A и B являются общими для обеих плоскостей:
  

1. A ∈ α и A ∈ β;
   
2. B ∈ α и B ∈ β.
   

• Согласно аксиоме стереометрии: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
  
• Поскольку у плоскостей α и β есть две общие точки (A и B), то эти плоскости пересекаются по прямой AB.
  
• Плоскости не могут совпадать (быть одной и той же плоскостью), так как по условию точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости (точка D не принадлежит плоскости α).

Ответ: Да, они пересекаются по прямой AB.

← Предыдущее задание 11 (стр. 8) → Следующее задание 13 (стр. 8)