ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 4
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №4 — подробное решение
В задаче №4 рассматривается ситуация, когда четыре точки (A, B, C и D) не принадлежат одной плоскости. Это классический пример расположения вершин тетраэдра. Нам предстоит выяснить, накладывает ли это ограничение на расположение отдельных точек и прямых в пространстве.
Решение 1:
Условие задачи:
Точки А, В, C и D не лежат в одной плоскости.
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться?
Ответ обоснуйте.
Решение задачи №4:
Пункт а) Могут ли три точки лежать на одной прямой?
- Ответ: НЕТ, НЕ МОГУТ.
- Обоснование: Докажем методом «от противного». Предположим, что три точки (например, A, B и C) лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и точку, не лежащую на ней (в нашем случае это точка D), можно провести плоскость. Тогда все четыре точки лежали бы в этой одной плоскости. Но это противоречит условию задачи. Следовательно, никакие три точки не могут лежать на одной прямой.
Пункт б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться?
- Ответ: НЕТ, НЕ МОГУТ.
- Обоснование: Снова используем доказательство от противного. Если бы прямые AB и CD пересекались, то они имели бы общую точку. По теореме стереометрии, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. В этой плоскости лежали бы обе прямые, а значит, и все четыре точки: A, B, C и D. Это вновь противоречит условию. Значит, прямые AB и CD являются скрещивающимися и не пересекаются.
Решение 2:
Дано:
Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.
Вопросы:
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться?
Ответ обоснуйте.
Решение:
а) Допустим, что три точки (например, A, B, C) лежат на одной прямой a.
- По следствию из аксиом стереометрии, через прямую a и точку D, не лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна.
- В этой плоскости будут лежать как точка D, так и прямая a со всеми принадлежащими ей точками (A, B и C).
- Следовательно, все четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, что противоречит условию.
Ответ: нет, не могут.
б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться? Ответ обоснуйте.
Ответ: Нет, не могут.
Объяснение:
Вспомним важное следствие из аксиом: если две прямые пересекаются, то через них можно провести плоскость, причём только одну.
- Если бы прямые AB и CD пересеклись в какой-то точке, то все точки, лежащие на этих прямых (а это наши A, B, C и D), автоматически оказались бы в одной общей плоскости.
- Это опять противоречит условию задачи, где сказано, что точки не лежат в одной плоскости.
Вердикт: Такие прямые называются скрещивающимися. Они «разминулись» в пространстве: не параллельны и не пересекаются, так как находятся в разных плоскостях.
!!! Запомни: Если 4 точки не лежат в одной плоскости, они всегда образуют вершины пирамиды (тетраэдра). В пирамиде противоположные рёбра никогда не пересекаются.
← Предыдущее задание 3 (стр. 8) → Следующее задание 5 (стр. 8)
