ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 6
Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №6 — подробное решение
Шестая задача из раздела «Вопросы и задачи» учебника Л.С. Атанасяна проверяет умение применять аксиомы стереометрии к простейшим геометрическим фигурам. Нам нужно доказать, что если мы соединим три произвольные точки отрезками, то вся получившаяся конструкция окажется в одной плоскости.
Решение 1:
Условие задачи:
Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.
Решение задачи №6 (Доказательство):
Пусть даны три точки: A, B и C. По условию они попарно соединены отрезками, то есть мы имеем отрезки AB, BC и CA.
1. Применяем аксиому А1:
Согласно первой аксиоме стереометрии (А1), через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость α.
(Примечание: если точки лежат на одной прямой, то через них проходит бесконечное множество плоскостей, и в любой из них эти точки будут лежать).
Применяем аксиому А2:
Теперь воспользуемся второй аксиомой (А2): если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
- Точки A и B лежат в плоскости a. Значит, прямая AB лежит в плоскости a. Следовательно, и отрезок AB лежит в этой плоскости.
- Точки B и C лежат в плоскости a. Значит, прямая BС и отрезок BC также лежат в этой плоскости.
- Точки C и A лежат в плоскости a. Значит, прямая CA и отрезок CA принадлежат этой плоскости.
Вывод:
Поскольку каждый из отрезков AB, BC и CA полностью принадлежит плоскости α, то и все отрезки вместе лежат в одной плоскости.
Что и требовалось доказать.
Решение 2:
Условие:
Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.
Доказательство:
1. Обозначим данные точки как A, B и C. По условию они соединены попарно, то есть мы имеем отрезки AB, BC и AC.
2. Согласно аксиоме стереометрии, через любые три точки (не лежащие на одной прямой) проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость α. (Если точки лежат на одной прямой, то через них также можно провести плоскость, причём не одну).
3. Воспользуемся другой аксиомой: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
4. Так как точки A и B лежат в плоскости α, то и вся прямая AB (а значит, и отрезок AB лежит в плоскости α.
5. Аналогично, так как B, C ∈ α, то отрезок BC ⊂ α.
6. Так как A, C ∈ α, то отрезок AC ⊂ α.
Вывод: все три отрезка лежат в одной плоскости α, что и требовалось доказать.
← Предыдущее задание 5 (стр. 8) → Следующее задание 7 (стр. 8)
