Tag Archives: Атанасян 10-11 класс ГДЗ

  • 09
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 11

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №11 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В одиннадцатой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы доказываем свойство «плоского пучка» прямых. Эта задача учит нас тому, как одна точка и одна прямая могут жёстко задать положение множества других прямых в пространстве.

Решение 1:

Условие задачи:

Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Решение задачи №11:

Чертеж к задаче 11 геометрия 10 класс Атанасян прямая и точка вне прямой

Пусть дана прямая a и точка M, не лежащая на этой прямой (M ∈ a).

1. Задаем плоскость:

Согласно следствию из аксиом стереометрии (или теореме), через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Назовём эту плоскость α.

Так как прямая a лежит в плоскости α, то все точки этой прямой также принадлежат α.

2. Рассмотрим произвольную прямую:

Возьмём любую прямую b, которая проходит через точку M и пересекает прямую a в некоторой точке K.

3. Применяем аксиому А2:

  1. Точка M лежит в плоскости α (по построению плоскости).
  2. Точка K также лежит в плоскости α (так как она является точкой прямой a, принадлежащей этой плоскости).
  3. Следовательно, у прямой b есть две точки (M и K), лежащие в плоскости α.
  4. Согласно аксиоме А2, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Вывод: Любая прямая, проходящая через точку M и пересекающая прямую a, целиком лежит в плоскости α.

Решение 2:

Чертеж к задаче 11 геометрия 10 класс Атанасян прямая и точка вне прямой

Дано:

Прямая a и точка M, не лежащая на ней (M ∈ a).

Прямые b1, b2, b3 ..., проходящие через точку M и пересекающие прямую a.

Доказать:

Все прямые bn лежат в одной плоскости.

Доказательство:

  1. Согласно следствию из аксиом стереометрии: через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость, и притом только одна.
  2. Следовательно, прямая a и точка M однозначно определяют некоторую плоскость α.
  3. Возьмём любую произвольную прямую b, которая проходит через точку M и пересекает прямую a в некоторой точке K.
  4. Точка M принадлежит плоскости α (по построению плоскости).
  5. Точка K принадлежит плоскости α, так как она лежит на прямой a, которая целиком принадлежит этой плоскости.
  6. По аксиоме стереометрии: если две точки прямой (M и K) лежат в плоскости, то и вся прямая (b) лежит в этой плоскости.
  7. Так как рассуждение верно для любой прямой, проходящей через M и пересекающей a, все такие прямые лежат в плоскости α.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 10 (стр. 8) → Следующее задание 12 (стр. 8)

  • 08
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 10

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №10 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В десятой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы анализируем условия, при которых прямая гарантированно принадлежит плоскости треугольника. В основе решения лежит аксиома А2, которая является «фундаментом» для подобных доказательств в стереометрии.

Решение 1:

Условие задачи:

Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она:

  • а) пересекает две стороны треугольника;
  • б) проходит через одну из вершин треугольника?

Решение задачи №10:

Пункт а) Прямая пересекает две стороны треугольника

Ответ: ДА, ВЕРНО.

Чертеж к задаче 10 геометрия 10 класс Атанасян прямая и треугольник

Обоснование:

  1. Если прямая пересекает сторону треугольника, значит, у них есть общая точка. Поскольку любая сторона треугольника целиком лежит в его плоскости, то и эта точка пересечения принадлежит плоскости треугольника.
  2. Прямая пересекает две стороны, следовательно, она имеет как минимум две общие точки с плоскостью треугольника.
  3. Согласно аксиоме А2: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
    Вывод: Прямая обязана лежать в плоскости треугольника.

Пункт б) Прямая проходит через одну из вершин треугольника

Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.

Чертеж к задаче 10 геометрия 10 класс Атанасян прямая и треугольник

Обоснование:

Вершина треугольника — это всего лишь одна точка. Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, которые не будут лежать в плоскости треугольника, а будут «протыкать» её под любым углом.

Прямая будет лежать в плоскости только в том случае, если мы найдем хотя бы еще одну её точку, принадлежащую этой плоскости. Без этого условия утверждать, что прямая лежит в плоскости, нельзя.

Решение 2:

а) Да, верно.

Обоснование:

  1. Обозначим плоскость треугольника как α. Любые две точки сторон треугольника по определению принадлежат плоскости α.
  2. Если прямая пересекает две стороны треугольника, значит, у неё есть как минимум две точки, лежащие в плоскости α.
  3. Согласно аксиоме стереометрии: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

б) Нет, неверно.
Обоснование:

  1. Через одну точку (вершину треугольника) в пространстве можно провести бесконечное множество прямых.
  2. Прямая может пересекать плоскость треугольника только в этой единственной точке (вершине) и уходить вверх или вниз под углом к плоскости. В таком случае она не будет лежать в плоскости треугольника.

Ответ: а) да; б) нет.

← Предыдущее задание 9 (стр. 8) → Следующее задание 11 (стр. 8)

  • 08
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 9

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №9 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Девятая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет знание свойств параллелограмма и умение применять аксиому А2. Чтобы доказать принадлежность всей фигуры плоскости, нам достаточно подтвердить, что её ключевые точки зафиксированы в этой плоскости.

Решение 1:

Чертеж к задаче 9 геометрия 10 класс Атанасян параллелограмм в плоскости альфа

Условие задачи:

Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте.

Решение задачи №9:

Ответ: ДА, ЛЕЖАТ.

Обоснование (Доказательство):

Пусть ABCD — данный параллелограмм, а O — точка пересечения его диагоналей. Допустим, в плоскости α лежат смежные вершины A и B, а также точка O.

1. Рассмотрим диагональ AC:

Точки A и O лежат в плоскости α по условию. Так как точка O лежит на диагонали AC, то точки A, O, C лежат на одной прямой. Согласно аксиоме А2, если две точки прямой (A и O) лежат в плоскости, то и вся прямая AC лежит в этой плоскости. Следовательно, точка C также лежит в плоскости α.

2. Рассмотрим диагональ BD:

Аналогично: точки B и O лежат в плоскости α по условию. Поскольку точка O является точкой пересечения диагоналей, она лежит на прямой BD. По аксиоме А2, если точки B и O лежат в плоскости, то и вся прямая BD лежит в этой плоскости. Следовательно, точка D также лежит в плоскости α.

Вывод: Все вершины параллелограмма ABCD лежат в плоскости α.

Решение 2:

Дано:
ABCD — параллелограмм.

A, B (смежные вершины) и O (точка пересечения диагоналей) лежат в плоскости α.

Вопрос:
Лежат ли вершины C и D в плоскости α?

Решение:

1. Рассмотрим диагональ AC. По условию точки A и O лежат в плоскости α.

2. Согласно аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая AC целиком лежит в плоскости α.

3. Так как вершина C принадлежит прямой AC, она также лежит в плоскости α.

4. Рассмотрим диагональ BD. По условию точки B и O лежат в плоскости α.

5. Аналогично, прямая BD целиком принадлежит плоскости α, так как две её точки (B и O) лежат в этой плоскости.

6. Так как вершина D принадлежит прямой BD, она также лежит в плоскости α.

Вывод:
Поскольку все вершины параллелограмма (A, B, C, D) принадлежат плоскости α, то и весь параллелограмм лежит в этой плоскости.

Ответ: Да, лежат.

← Предыдущее задание 8 (стр. 8) → Следующее задание 10 (стр. 8)

  • 07
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 5

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №5 — разбор и ответ

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Пятая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет знание следствий из аксиом стереометрии. В отличие от случая, когда точки образуют треугольник, расположение трёх точек на одной прямой в корне меняет ответ на вопрос о количестве возможных плоскостей.

Решение 1:

Условие задачи:

Докажите, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

Решение задачи №5:

Доказательство существования:

1. Пусть даны три точки A, B и C, лежащие на одной прямой a.

Согласно аксиоме стереометрии, в пространстве существуют точки, не лежащие на данной прямой. Возьмём любую такую точку D. Через прямую a и точку D (не лежащую на ней) можно провести плоскость (по следствию из аксиом). Так как все три точки A, B, C лежат на прямой a, то они автоматически лежат и в этой проведённой плоскости. Значит, такая плоскость существует.

2. Сколько существует таких плоскостей?

Через прямую (а значит, и через три точки на ней) проходит бесконечное множество плоскостей.

Обоснование:

Представьте себе обычную книгу. Корешок книги — это прямая, на которой лежат ваши три точки. Каждая страница книги — это отдельная плоскость, проходящая через этот «корешок». Мы можем вращать плоскость вокруг прямой бесконечно, создавая новые и новые плоскости.

Решение 2:

Дано:
Точки A, B и C, лежащие на одной прямой a.

1. Существование плоскости:

Согласно аксиоме стереометрии, через любую прямую в пространстве проходит плоскость. Так как точки A, B и C лежат на прямой a, любая плоскость, содержащая эту прямую, будет содержать и эти три точки. Следовательно, плоскость существует.

2. Количество плоскостей:

Через прямую в пространстве можно провести бесконечное множество различных плоскостей (этот процесс можно представить как вращение плоскости вокруг прямой, подобно страницам в книге, закреплённым на одном переплёте).

Ответ: существует бесконечно много плоскостей.

← Предыдущее задание 4 (стр. 8) → Следующее задание 6 (стр. 8)

Newer posts→

Поиск


Май 2026
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Апр    
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031

Архив

О нас

Помочь
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
Этот Сайт использует файлы cookies для сбора и хранения данных. Посещая Сайт, вы автоматически соглашаетесь с использованием данных технологий.

© Copyright, 2016. Enigma Theme | При копировании материала активная ссылка обязательна | Developed By Weblizar specially for Развивайка