Monthly Archives: Май 2026

  • 07
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 8

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №8 — решение и объяснение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Восьмая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет, как учащиеся умеют применять аксиомы стереометрии к криволинейным фигурам. Окружность — это плоская фигура, но чтобы «зафиксировать» её в конкретной плоскости в пространстве, недостаточно двух точек. Разберёмся почему.

Решение 1:

Условие задачи:

Верно ли утверждение:

а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости;

б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Решение задачи №8:

Чертеж к задаче 8 геометрия 10 класс Атанасян окружность пересекает плоскость

Пункт а) Две точки окружности в плоскости

Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.

Обоснование: Представьте, что окружность — это обруч, а плоскость — поверхность воды. Вы можете опустить обруч в воду так, что он будет пересекать поверхность только в двух точках. При этом большая часть обруча будет находиться над или под водой.

С точки зрения геометрии: Через две точки проходит прямая (хорда окружности). Окружность может вращаться вокруг этой прямой как на оси, пересекая плоскость только в этих двух точках.

Пункт б) Три точки окружности в плоскости

Ответ: ДА, ВЕРНО.

Обоснование: Окружность — это плоская фигура (она всегда целиком лежит в какой-то одной своей плоскости). По аксиоме А1, через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Три точки окружности не могут лежать на одной прямой. Значит, через них проходит единственная плоскость. Так как сама окружность плоская и три её точки уже зафиксированы в плоскости α, то и вся окружность обязана лежать в этой плоскости.

Решение 2:

Условие:

Верно ли утверждение: а) если две точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости; б) если три точки окружности лежат в плоскости, то и вся окружность лежит в этой плоскости?

Решение:

а) Нет, утверждение неверно.

Обоснование: Через две точки можно провести прямую, которая может быть линией пересечения двух плоскостей. Представьте плоскость стола и лист бумаги, который касается стола в двух точках окружности (хорда). При этом сам лист может быть наклонён под любым углом к столу, и остальная часть окружности будет находиться вне плоскости стола.

Две точки определяют только положение прямой, но не окружности или плоскости.

б) Да, утверждение верно.

Обоснование:

1. Согласно аксиоме стереометрии, через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

2. Любые три точки окружности не могут лежать на одной прямой. Значит, через них проходит ровно одна плоскость.

3. Поскольку вся окружность — это плоская фигура, которая однозначно задаётся тремя своими точками, она будет целиком принадлежать этой единственной плоскости.

Ответ: а) нет; б) да.

← Предыдущее задание 7 (стр. 8) → Следующее задание 9 (стр. 8)

  • 07
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 7

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №7 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Седьмая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет умение учащихся работать с плоскостью, заданной двумя пересекающимися прямыми. Мы разберём, почему «перемычки» между этими прямыми всегда лежат в одной плоскости, и выясним, что происходит с прямыми, проходящими через общую точку М.

Решение 1:

Условие задачи:

Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

Решение задачи №7:

Чертеж к задаче 7 геометрия 10 класс Атанасян две пересекающиеся прямые

На чертеже прямая n проходит через точку M, но не принадлежит плоскости a. Она пересекает плоскость в единственной точке M. Это наглядно доказывает, что не все прямые, проходящие через общую точку, должны лежать в одной плоскости. В пространстве таких прямых может быть бесконечное множество, и они могут быть направлены в разные стороны (образовывать "связку" или "пучок" прямых)

1. Доказательство первой части:

Пусть даны две прямые a и b, которые пересекаются в точке M.

Согласно теореме (следствие из аксиом), через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Назовем её плоскостью α.

Возьмём произвольную прямую c, которая не проходит через точку M, но пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B.

Поскольку точка A лежит на прямой a, она принадлежит плоскости α. Аналогично, точка B лежит на прямой b, значит, она тоже принадлежит плоскости α.

Согласно аксиоме А2, если две точки прямой A и B лежат в плоскости, то и вся прямая c лежит в этой плоскости.

Вывод: Все такие прямые c лежат в плоскости α.

2. Ответ на второй вопрос:

Вопрос: Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

Ответ: НЕТ, НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО.

Пояснение: Через точку M в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, направленных в разные стороны (как иглы у ежа). Они не будут принадлежать одной плоскости. Только те прямые, которые изначально лежат в нашей плоскости α, будут в ней находиться.

Решение 2:

Условие:

Две прямые пересекаются в точке M. Докажите, что все прямые, не проходящие через точку M и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку M?

Решение:

Доказательство первой части:

1. Обозначим данные пересекающиеся прямые как a и b. Точка их пересечения — M.

2. Согласно следствию из аксиом стереометрии, через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость α.

3. Возьмём произвольную прямую c, которая не проходит через точку M, но пересекает прямую a в точке A и прямую b в точке B.

4. Так как прямая a лежит в плоскости α, то точка A принадлежит α.

5. Так как прямая b лежит в плоскости α, то точка B принадлежит α.

6. По аксиоме стереометрии: если две точки прямой A и B лежат в плоскости α, то и вся прямая c лежит в этой плоскости.

Что и требовалось доказать.

Ответ на вопрос:

Нет, не все прямые, проходящие через точку M, лежат в одной плоскости.

Обоснование: Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, направленных в разные стороны. Они не будут ограничены какой-то одной плоскостью.

Ответ: 1) доказано; 2) нет, не обязательно.

← Предыдущее задание 6 (стр. 8) → Следующее задание 8 (стр. 8)

  • 07
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 6

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №6 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Шестая задача из раздела «Вопросы и задачи» учебника Л.С. Атанасяна проверяет умение применять аксиомы стереометрии к простейшим геометрическим фигурам. Нам нужно доказать, что если мы соединим три произвольные точки отрезками, то вся получившаяся конструкция окажется в одной плоскости.

Решение 1:

Условие задачи:

Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

Решение задачи №6 (Доказательство):

Пусть даны три точки: A, B и C. По условию они попарно соединены отрезками, то есть мы имеем отрезки AB, BC и CA.

Чертеж к задаче 6 по геометрии 10-11 класс Атанасян: три точки и отрезки в плоскости

1. Применяем аксиому А1:

Согласно первой аксиоме стереометрии (А1), через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Назовем эту плоскость α.

(Примечание: если точки лежат на одной прямой, то через них проходит бесконечное множество плоскостей, и в любой из них эти точки будут лежать).

Применяем аксиому А2:

Теперь воспользуемся второй аксиомой (А2): если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

  • Точки A и B лежат в плоскости a. Значит, прямая AB лежит в плоскости a. Следовательно, и отрезок AB лежит в этой плоскости.
  • Точки B и C лежат в плоскости a. Значит, прямая BС и отрезок BC также лежат в этой плоскости.
  • Точки C и A лежат в плоскости a. Значит, прямая CA и отрезок CA принадлежат этой плоскости.

Вывод:

Поскольку каждый из отрезков AB, BC и CA полностью принадлежит плоскости α, то и все отрезки вместе лежат в одной плоскости.

Что и требовалось доказать.

Решение 2:

Условие:
Три данные точки соединены попарно отрезками. Докажите, что все отрезки лежат в одной плоскости.

Доказательство:

1. Обозначим данные точки как A, B и C. По условию они соединены попарно, то есть мы имеем отрезки AB, BC и AC.

2. Согласно аксиоме стереометрии, через любые три точки (не лежащие на одной прямой) проходит плоскость, и притом только одна. Обозначим эту плоскость α. (Если точки лежат на одной прямой, то через них также можно провести плоскость, причём не одну).

3. Воспользуемся другой аксиомой: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

4. Так как точки A и B лежат в плоскости α, то и вся прямая AB (а значит, и отрезок AB лежит в плоскости α.

5. Аналогично, так как B, C ∈ α, то отрезок BC ⊂ α.

6. Так как A, C ∈ α, то отрезок AC ⊂ α.

Вывод: все три отрезка лежат в одной плоскости α, что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 5 (стр. 8) → Следующее задание 7 (стр. 8)

  • 07
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 5

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №5 — разбор и ответ

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Пятая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет знание следствий из аксиом стереометрии. В отличие от случая, когда точки образуют треугольник, расположение трёх точек на одной прямой в корне меняет ответ на вопрос о количестве возможных плоскостей.

Решение 1:

Условие задачи:

Докажите, что через три данные точки, лежащие на одной прямой, проходит плоскость. Сколько существует таких плоскостей?

Решение задачи №5:

Доказательство существования:

1. Пусть даны три точки A, B и C, лежащие на одной прямой a.

Согласно аксиоме стереометрии, в пространстве существуют точки, не лежащие на данной прямой. Возьмём любую такую точку D. Через прямую a и точку D (не лежащую на ней) можно провести плоскость (по следствию из аксиом). Так как все три точки A, B, C лежат на прямой a, то они автоматически лежат и в этой проведённой плоскости. Значит, такая плоскость существует.

2. Сколько существует таких плоскостей?

Через прямую (а значит, и через три точки на ней) проходит бесконечное множество плоскостей.

Обоснование:

Представьте себе обычную книгу. Корешок книги — это прямая, на которой лежат ваши три точки. Каждая страница книги — это отдельная плоскость, проходящая через этот «корешок». Мы можем вращать плоскость вокруг прямой бесконечно, создавая новые и новые плоскости.

Решение 2:

Дано:
Точки A, B и C, лежащие на одной прямой a.

1. Существование плоскости:

Согласно аксиоме стереометрии, через любую прямую в пространстве проходит плоскость. Так как точки A, B и C лежат на прямой a, любая плоскость, содержащая эту прямую, будет содержать и эти три точки. Следовательно, плоскость существует.

2. Количество плоскостей:

Через прямую в пространстве можно провести бесконечное множество различных плоскостей (этот процесс можно представить как вращение плоскости вокруг прямой, подобно страницам в книге, закреплённым на одном переплёте).

Ответ: существует бесконечно много плоскостей.

← Предыдущее задание 4 (стр. 8) → Следующее задание 6 (стр. 8)

  • 03
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 4

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №4 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В задаче №4 рассматривается ситуация, когда четыре точки (A, B, C и D) не принадлежат одной плоскости. Это классический пример расположения вершин тетраэдра. Нам предстоит выяснить, накладывает ли это ограничение на расположение отдельных точек и прямых в пространстве.

Решение 1:

Условие задачи:

Точки А, В, C и D не лежат в одной плоскости.

а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?

б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться?

Ответ обоснуйте.

Решение задачи №4:

Пункт а) Могут ли три точки лежать на одной прямой?

  • Ответ: НЕТ, НЕ МОГУТ.
  • Обоснование: Докажем методом «от противного». Предположим, что три точки (например, A, B и C) лежат на одной прямой. Согласно аксиоме стереометрии, через прямую и точку, не лежащую на ней (в нашем случае это точка D), можно провести плоскость. Тогда все четыре точки лежали бы в этой одной плоскости. Но это противоречит условию задачи. Следовательно, никакие три точки не могут лежать на одной прямой.

Пункт б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться?

  • Ответ: НЕТ, НЕ МОГУТ.
  • Обоснование: Снова используем доказательство от противного. Если бы прямые AB и CD пересекались, то они имели бы общую точку. По теореме стереометрии, через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну. В этой плоскости лежали бы обе прямые, а значит, и все четыре точки: A, B, C и D. Это вновь противоречит условию. Значит, прямые AB и CD являются скрещивающимися и не пересекаются.

Решение 2:

Дано:
Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Вопросы:
а) Могут ли какие-то три из них лежать на одной прямой?
б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться?

Ответ обоснуйте.

Решение:

а) Допустим, что три точки (например, A, B, C) лежат на одной прямой a.

  1. По следствию из аксиом стереометрии, через прямую a и точку D, не лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна.
  2. В этой плоскости будут лежать как точка D, так и прямая a со всеми принадлежащими ей точками (A, B и C).
  3. Следовательно, все четыре точки A, B, C, D лежат в одной плоскости, что противоречит условию.

Ответ: нет, не могут.

б) Могут ли прямые AB и CD пересекаться? Ответ обоснуйте.
Ответ: Нет, не могут.

Объяснение:
Вспомним важное следствие из аксиом: если две прямые пересекаются, то через них можно провести плоскость, причём только одну.

  1. Если бы прямые AB и CD пересеклись в какой-то точке, то все точки, лежащие на этих прямых (а это наши A, B, C и D), автоматически оказались бы в одной общей плоскости.
  2. Это опять противоречит условию задачи, где сказано, что точки не лежат в одной плоскости.

Вердикт: Такие прямые называются скрещивающимися. Они «разминулись» в пространстве: не параллельны и не пересекаются, так как находятся в разных плоскостях.

!!! Запомни: Если 4 точки не лежат в одной плоскости, они всегда образуют вершины пирамиды (тетраэдра). В пирамиде противоположные рёбра никогда не пересекаются.

← Предыдущее задание 3 (стр. 8) → Следующее задание 5 (стр. 8)

Newer Posts -- Older Posts

Поиск


Май 2026
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Апр   Июн »
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031

Архив

О нас

Помочь
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
Этот Сайт использует файлы cookies для сбора и хранения данных. Посещая Сайт, вы автоматически соглашаетесь с использованием данных технологий.

© Copyright, 2016. Enigma Theme | При копировании материала активная ссылка обязательна | Developed By Weblizar specially for Развивайка