Monthly Archives: Май 2026

  • 10
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 13

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №13 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В тринадцатой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы разбираем базовые свойства пересечения плоскостей. Ответы на эти вопросы напрямую вытекают из аксиом стереометрии, которые определяют структуру трёхмерного пространства.

Решение 1:

Условие задачи:

Могут ли две плоскости иметь:

  • а) только одну общую точку;
  • б) только две общие точки;
  • в) только одну общую прямую?

Решение задачи №13:

Чертеж к задаче 13 геометрия 10 класс Атанасян пересекающиеся плоскости

Прямая a — единственная линия пересечения плоскостей α и β

а) Могут ли две плоскости иметь только одну общую точку?

Ответ: НЕТ.

Обоснование: Согласно аксиоме А3, если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Прямая содержит бесконечное множество точек, поэтому «только одной» точки быть не может.

б) Могут ли две плоскости иметь только две общие точки?

Ответ: НЕТ.

Обоснование: По той же аксиоме А3, наличие хотя бы одной общей точки гарантирует наличие целой общей прямой. А на любой прямой находится бесконечное количество точек. Следовательно, иметь ровно две общие точки плоскости не могут.

в) Могут ли две плоскости иметь только одну общую прямую?

Ответ: ДА.

Обоснование: Это классический случай пересечения двух плоскостей. Если плоскости не совпадают и не параллельны, то линия пересечения плоскостей — это единственная прямая. Все их общие точки будут лежать исключительно на этой прямой.

Решение 2:

Вопрос: Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) только одну общую прямую?

Решение:

а) Нет, не могут.

Обоснование: Согласно аксиоме стереометрии, если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. На прямой лежит бесконечное множество точек, поэтому одна-единственная точка у пересекающихся плоскостей быть не может.

б) Нет, не могут.

Обоснование: Это утверждение противоречит той же аксиоме. Если у плоскостей есть две общие точки, то через них можно провести прямую. Согласно другой аксиоме, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости. Таким образом, все точки этой прямой будут общими для обеих плоскостей.

в) Да, могут.

Обоснование: Это стандартный случай пересечения двух плоскостей. Если две плоскости не параллельны и не совпадают, они пересекаются по одной прямой (и только по одной). Все их общие точки будут принадлежать этой прямой.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.

← Предыдущее задание 12 (стр. 8) → Следующее задание 14 (стр. 8)

  • 09
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 12

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №12 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В двенадцатой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы анализируем взаимное расположение двух плоскостей, построенных на вершинах тетраэдра. Ключом к решению является поиск общих точек, которые определяют линию пересечения плоскостей.

Решение 1:

Условие задачи:

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости. Пересекаются ли плоскости, проходящие через точки A, B, C и A, B, D?

Решение задачи №12:

Чертеж к задаче 12 геометрия 10 класс Атанасян пересечение плоскостей по прямой AB

Ответ: ДА, ПЕРЕСЕКАЮТСЯ.

Обоснование:

  1. Рассмотрим первую плоскость, проходящую через точки A, B и C. Обозначим её (ABC).
  2. Рассмотрим вторую плоскость, проходящую через точки A, B и D. Обозначим её (ABD).
  3. Заметим, что у этих двух плоскостей есть две общие точки — A и B.
  4. Согласно аксиоме стереометрии (А3): если две плоскости имеют общие точки, то они имеют и общую прямую. В нашем случае прямой AB и является линия пересечения плоскостей (ABC) и (ABD).
  5. Поскольку у наших плоскостей общими являются сразу две точки (A и B), то они пересекаются по прямой AB, которая принадлежит каждой из этих плоскостей.

Важное дополнение: Так как по условию точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости, это гарантирует, что плоскости (ABC) и (ABD) не совпадают, а являются именно пересекающимися.

Ответ: Да. Плоскости пересекаются, так как у них есть общая сторона AB, которая по определению аксиом стереометрии представляет собой линию пересечения плоскостей.

Решение 2:

Чертеж к задаче 12 геометрия 10 класс Атанасян пересечение плоскостей по прямой AB

Дано:

Точки A, B, C, D не лежат в одной плоскости.

Плоскость α проходит через точки A, B, C.

Плоскость β проходит через точки A, B, D.

Решение:

  • Рассмотрим плоскость α, проходящую через точки A, B и C, и плоскость β, проходящую через точки A, B и D.
  • Заметим, что точки A и B являются общими для обеих плоскостей:
  1. A ∈ α и A ∈ β;
  2. B ∈ α и B ∈ β.
  • Согласно аксиоме стереометрии: если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
  • Поскольку у плоскостей α и β есть две общие точки (A и B), то эти плоскости пересекаются по прямой AB.
  • Плоскости не могут совпадать (быть одной и той же плоскостью), так как по условию точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости (точка D не принадлежит плоскости α).

Ответ: Да, они пересекаются по прямой AB.

← Предыдущее задание 11 (стр. 8) → Следующее задание 13 (стр. 8)

  • 09
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 11

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №11 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В одиннадцатой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы доказываем свойство «плоского пучка» прямых. Эта задача учит нас тому, как одна точка и одна прямая могут жёстко задать положение множества других прямых в пространстве.

Решение 1:

Условие задачи:

Даны прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Докажите, что все прямые, проходящие через данную точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

Решение задачи №11:

Чертеж к задаче 11 геометрия 10 класс Атанасян прямая и точка вне прямой

Пусть дана прямая a и точка M, не лежащая на этой прямой (M ∈ a).

1. Задаем плоскость:

Согласно следствию из аксиом стереометрии (или теореме), через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Назовём эту плоскость α.

Так как прямая a лежит в плоскости α, то все точки этой прямой также принадлежат α.

2. Рассмотрим произвольную прямую:

Возьмём любую прямую b, которая проходит через точку M и пересекает прямую a в некоторой точке K.

3. Применяем аксиому А2:

  1. Точка M лежит в плоскости α (по построению плоскости).
  2. Точка K также лежит в плоскости α (так как она является точкой прямой a, принадлежащей этой плоскости).
  3. Следовательно, у прямой b есть две точки (M и K), лежащие в плоскости α.
  4. Согласно аксиоме А2, если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Вывод: Любая прямая, проходящая через точку M и пересекающая прямую a, целиком лежит в плоскости α.

Решение 2:

Чертеж к задаче 11 геометрия 10 класс Атанасян прямая и точка вне прямой

Дано:

Прямая a и точка M, не лежащая на ней (M ∈ a).

Прямые b1, b2, b3 ..., проходящие через точку M и пересекающие прямую a.

Доказать:

Все прямые bn лежат в одной плоскости.

Доказательство:

  1. Согласно следствию из аксиом стереометрии: через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость, и притом только одна.
  2. Следовательно, прямая a и точка M однозначно определяют некоторую плоскость α.
  3. Возьмём любую произвольную прямую b, которая проходит через точку M и пересекает прямую a в некоторой точке K.
  4. Точка M принадлежит плоскости α (по построению плоскости).
  5. Точка K принадлежит плоскости α, так как она лежит на прямой a, которая целиком принадлежит этой плоскости.
  6. По аксиоме стереометрии: если две точки прямой (M и K) лежат в плоскости, то и вся прямая (b) лежит в этой плоскости.
  7. Так как рассуждение верно для любой прямой, проходящей через M и пересекающей a, все такие прямые лежат в плоскости α.

Что и требовалось доказать.

← Предыдущее задание 10 (стр. 8) → Следующее задание 12 (стр. 8)

  • 08
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 10

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №10 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

В десятой задаче учебника Л.С. Атанасяна мы анализируем условия, при которых прямая гарантированно принадлежит плоскости треугольника. В основе решения лежит аксиома А2, которая является «фундаментом» для подобных доказательств в стереометрии.

Решение 1:

Условие задачи:

Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она:

  • а) пересекает две стороны треугольника;
  • б) проходит через одну из вершин треугольника?

Решение задачи №10:

Пункт а) Прямая пересекает две стороны треугольника

Ответ: ДА, ВЕРНО.

Чертеж к задаче 10 геометрия 10 класс Атанасян прямая и треугольник

Обоснование:

  1. Если прямая пересекает сторону треугольника, значит, у них есть общая точка. Поскольку любая сторона треугольника целиком лежит в его плоскости, то и эта точка пересечения принадлежит плоскости треугольника.
  2. Прямая пересекает две стороны, следовательно, она имеет как минимум две общие точки с плоскостью треугольника.
  3. Согласно аксиоме А2: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.
    Вывод: Прямая обязана лежать в плоскости треугольника.

Пункт б) Прямая проходит через одну из вершин треугольника

Ответ: НЕТ, НЕВЕРНО.

Чертеж к задаче 10 геометрия 10 класс Атанасян прямая и треугольник

Обоснование:

Вершина треугольника — это всего лишь одна точка. Через одну точку в пространстве можно провести бесконечное множество прямых, которые не будут лежать в плоскости треугольника, а будут «протыкать» её под любым углом.

Прямая будет лежать в плоскости только в том случае, если мы найдем хотя бы еще одну её точку, принадлежащую этой плоскости. Без этого условия утверждать, что прямая лежит в плоскости, нельзя.

Решение 2:

а) Да, верно.

Обоснование:

  1. Обозначим плоскость треугольника как α. Любые две точки сторон треугольника по определению принадлежат плоскости α.
  2. Если прямая пересекает две стороны треугольника, значит, у неё есть как минимум две точки, лежащие в плоскости α.
  3. Согласно аксиоме стереометрии: если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

б) Нет, неверно.
Обоснование:

  1. Через одну точку (вершину треугольника) в пространстве можно провести бесконечное множество прямых.
  2. Прямая может пересекать плоскость треугольника только в этой единственной точке (вершине) и уходить вверх или вниз под углом к плоскости. В таком случае она не будет лежать в плоскости треугольника.

Ответ: а) да; б) нет.

← Предыдущее задание 9 (стр. 8) → Следующее задание 11 (стр. 8)

  • 08
    Май 26
  • 0

ГДЗ. Геометрия.10 класс. Атанасян. Номер 9

Tags : 

Геометрия 10-11 класс, Атанасян, задача №9 — подробное решение

gdz geometriya 10

Все задачи учебника

Девятая задача учебника Л.С. Атанасяна проверяет знание свойств параллелограмма и умение применять аксиому А2. Чтобы доказать принадлежность всей фигуры плоскости, нам достаточно подтвердить, что её ключевые точки зафиксированы в этой плоскости.

Решение 1:

Чертеж к задаче 9 геометрия 10 класс Атанасян параллелограмм в плоскости альфа

Условие задачи:

Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости α. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости α? Ответ обоснуйте.

Решение задачи №9:

Ответ: ДА, ЛЕЖАТ.

Обоснование (Доказательство):

Пусть ABCD — данный параллелограмм, а O — точка пересечения его диагоналей. Допустим, в плоскости α лежат смежные вершины A и B, а также точка O.

1. Рассмотрим диагональ AC:

Точки A и O лежат в плоскости α по условию. Так как точка O лежит на диагонали AC, то точки A, O, C лежат на одной прямой. Согласно аксиоме А2, если две точки прямой (A и O) лежат в плоскости, то и вся прямая AC лежит в этой плоскости. Следовательно, точка C также лежит в плоскости α.

2. Рассмотрим диагональ BD:

Аналогично: точки B и O лежат в плоскости α по условию. Поскольку точка O является точкой пересечения диагоналей, она лежит на прямой BD. По аксиоме А2, если точки B и O лежат в плоскости, то и вся прямая BD лежит в этой плоскости. Следовательно, точка D также лежит в плоскости α.

Вывод: Все вершины параллелограмма ABCD лежат в плоскости α.

Решение 2:

Дано:
ABCD — параллелограмм.

A, B (смежные вершины) и O (точка пересечения диагоналей) лежат в плоскости α.

Вопрос:
Лежат ли вершины C и D в плоскости α?

Решение:

1. Рассмотрим диагональ AC. По условию точки A и O лежат в плоскости α.

2. Согласно аксиоме: если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости. Следовательно, прямая AC целиком лежит в плоскости α.

3. Так как вершина C принадлежит прямой AC, она также лежит в плоскости α.

4. Рассмотрим диагональ BD. По условию точки B и O лежат в плоскости α.

5. Аналогично, прямая BD целиком принадлежит плоскости α, так как две её точки (B и O) лежат в этой плоскости.

6. Так как вершина D принадлежит прямой BD, она также лежит в плоскости α.

Вывод:
Поскольку все вершины параллелограмма (A, B, C, D) принадлежат плоскости α, то и весь параллелограмм лежит в этой плоскости.

Ответ: Да, лежат.

← Предыдущее задание 8 (стр. 8) → Следующее задание 10 (стр. 8)

Newer Posts -- Older Posts

Поиск


Май 2026
Пн Вт Ср Чт Пт Сб Вс
« Апр   Июн »
 123
45678910
11121314151617
18192021222324
25262728293031

Архив

О нас

Помочь
Яндекс.Метрика Рейтинг@Mail.ru
Этот Сайт использует файлы cookies для сбора и хранения данных. Посещая Сайт, вы автоматически соглашаетесь с использованием данных технологий.

© Copyright, 2016. Enigma Theme | При копировании материала активная ссылка обязательна | Developed By Weblizar specially for Развивайка